108學年鷺江國中第1次段考數學 第23題 詳解

答案伯呆今年 $16$ 歲看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   設未知數並整理條件

   設伯呆今年 $a$ 歲、仲呆 $b$ 歲、叔呆 $c$ 歲、季呆 $d$ 歲。四兄弟依排行由大到小，所以 $a>b>c>d$；「未滿二十歲」表示四人的年齡都是小於 $20$ 的正整數。
2. 2

   列式並用平方差拆開

   由「年齡平方相差 $60$」列出 $a^2-b^2=60$。用平方差公式拆成 $(a+b)(a-b)=60$。同樣地，叔呆與季呆滿足 $(c+d)(c-d)=60$。
3. 3

   判斷兩個因數的奇偶

   $(a+b)+(a-b)=2a$ 是偶數，所以 $a+b$ 與 $a-b$ 同為奇數或同為偶數。若兩個都是奇數，乘積會是奇數，不可能等於 $60$。因此兩個都必須是偶數。
4. 4

   找出所有可能的年齡

   把 $60$ 拆成兩個偶數相乘，只有 $60=2\times30$ 與 $60=6\times10$。又 $a+b>a-b$，所以：$a+b=30$ 且 $a-b=2$，解得 $a=16$、$b=14$；或 $a+b=10$ 且 $a-b=6$，解得 $a=8$、$b=2$。
5. 5

   用排行挑出正確的一組

   叔呆與季呆也只能是這兩組之一。因為 $a>b>c>d$，伯呆、仲呆必須拿較大的那組 $16$、$14$，叔呆、季呆拿較小的 $8$、$2$，恰好滿足 $16>14>8>2$，而且四人都未滿 $20$ 歲。
6. 6

   驗算並作答

   檢查：$16^2-14^2=256-196=60$，$8^2-2^2=64-4=60$，都符合。答：伯呆今年 $16$ 歲。 本題 $2$ 分，答案卷上要把設未知數、列式、解出兩組解、再依排行取捨的過程完整寫下來，沒有計算過程不予計分。

關鍵觀念：#應用問題 #一元一次方程式 #平方差

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