多項式與方程式

高中・國中 · 歷屆 13 題 · 跨 7 份考卷

多項式、因式分解與二次函數怎麼解？
這裡整理了113分科測驗、113會考、113學測、114分科測驗、114會考、114學測、115學測共 13 題多項式與方程式考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

二次函數×3 三次多項式×2 多項式×2 頂點式×2 一元二次方程式 三次函數 乘法公式 二次函數極值 二次方程式 介值定理 共軛複數根 最大值最小值 函數圖形 函數圖形對稱中心 判別式 參數範圍 反曲點 向量內積 圓與直線 圖形對稱中心 圖形平移 多選題判析 多項式除法 實數解 實根 導數 平方根 平面平移 座標變化 指數方程 提公因式 根與係數關係 極值判別 極值條件 直線斜率 等差數列 配方法 韋達定理 餘式定理

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 共軛根・餘式定113分科測驗數學甲 第5題
   把「共軛根」看成左右對稱，或誤把餘式只套一個點
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2. 提公因式・因式分解113會考數學 第10題
   很多人會先硬展開，或把 $-4(5x-2)^2$ 誤看成 $-4(5x^2-2)^2$；正確做法是先抓共同因式 $5x-2$，再處理剩下的括號。
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3. 二次函數・頂點判斷113會考數學 第12題
   全班最容易錯在：看到 $x+20$ 就以為頂點是 $20$，其實要先改成 $x-(-20)$，頂點才是 $-20$。
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4. 三次函數・韋達113學測數學A 第3題
   最容易漏掉「$f(0)$ 等於三個根乘積再乘最高次項係數」，只看根的正負卻忘了外面的 $a$。
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5. 極值・導函數114分科測驗數學甲 第7題
   最容易錯在把「極大」誤當成「一定比前一個極小大」，以及忘了導數要連續、要用介值定理找出區間內的正負變號；另外 (3) 不能只憑極大值就硬寫 $f''(3)>0$。
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6. 平方根・解的判斷114會考數學 第13題
   全班最容易錯在把「平方」當成一定只有一個解，或看到 $(x-4)^2=9$ 沒先判斷右邊是正數，直接亂選；還有人看到 $(x+9)^2=-4$ 以為可以硬開根號，其實實數平方不可能等於負數。
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7. 平移交點・代入法114會考數學 第21題
   全班最容易錯在只看「向右平移十單位」就直接猜交點往右或往下，卻忘了交點是和 $y$ 軸相交，必須令 $x=0$ 來看它的高度。另外也很容易漏掉「平移過程」四個字，只拿起點終點比大小，沒有看中間在 $t=7$ 時先到最高點。
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8. 指數化圓114學測數學A 第8題
   最容易錯在把圓心看成原點，或用對稱性亂判 (2)；另外 (5) 要用圓的投影最大值，不能直接憑感覺猜。
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9. 判別式・範圍114學測數學A 第9題
   最容易錯在只看單一方程式的判別式，忘了兩個條件要一起夾出 $b$ 和 $c$；另外第（三）項常誤以為「係數差一點」就一定有實根，實際上要回到判別式判斷。
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10. 拋物對稱・餘式定理114學測數學A 第13題
    最容易錯在把「商式在 $x=-6$ 有最大值」誤看成要先算出 $q(x)$ 的完整式子；這題其實先用餘式定理抓 $f(-6)=3$，再由題意直接讀出對稱中心。
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11. 三次中心・對稱判析115學測數學A 第12題
    把三次函數中心誤當成同號，或以為縱座標相同就能推出中心相同。
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12. 向量・垂直條件115學測數學A 第14題
    最容易錯在把「與直線垂直」誤看成 $ab=-1$ 或直接套斜率負倒數卻沒先確認向量和直線的關係；這題要先用直線方向向量 $(1,b)$，再做內積為零。
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13. 二次函數・平移115學測數學A 第16題
    最容易錯在把「平移後通過點 $B$」誤解成新函數還有同樣的式子，結果直接代 $B$ 到原函數裡。其實要先設平移向量 $(u,v)$，再用「新圖通過 $B$」寫成 $f\left(\frac12-u\right)+v=0$；另外也常忘了利用「頂點仍在直線上」得到 $v=2u$，少了這一步就解不出來。
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