112學年鷺江國中第3次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先算真的發出去幾顆

   買了 $700$ 顆，發完還剩 $20$ 顆，所以實際發出去的是 $700-20=680$（顆）。列式要用 $680$ 不是 $700$。
2. 2

   設未知數並算兩邊拿的量

   設女生有 $f$ 人，男生比女生多 $3$ 人，所以男生有 $f+3$ 人。每位男生拿的顆數 $=$ 女生人數 $=f$，男生一共拿走 $(f+3)\times f$ 顆；每位女生拿的顆數 $=$ 男生人數 $=f+3$，女生一共拿走 $f\times(f+3)$ 顆。兩邊剛好一樣多。
3. 3

   列出方程式

   $(f+3)f+f(f+3)=680$，也就是 $2f(f+3)=680$，兩邊同除以 $2$ 得 $f(f+3)=340$，展開整理成 $f^2+3f-340=0$。
4. 4

   因式分解求人數

   要找兩個數相乘 $-340$、相加 $3$：$20\times17=340$ 且 $20-17=3$，所以 $(f+20)(f-17)=0$，$f=-20$ 或 $f=17$。人數不可能是負的，捨去 $-20$，得女生 $17$ 人、男生 $17+3=20$ 人。
5. 5

   回答題目問的並提醒

   驗算：男生 $20$ 人每人拿 $17$ 顆共 $340$ 顆，女生 $17$ 人每人拿 $20$ 顆共 $340$ 顆，合計 $680$ 顆，加上剩下的 $20$ 顆正好 $700$ 顆。題目問的是全班人數，$17+20=37$（位）。常見的錯有兩個：一是忘了扣掉剩下的 $20$ 顆，用 $2f(f+3)=700$ 得 $f^2+3f-350=0$，判別式 $9+1400=1409$ 不是完全平方數，根本解不出整數人數；二是算完只寫男生 $20$ 或女生 $17$。這一格的答案是 $37$ 位，這題全對才給分。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用

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