112學年鷺江國中第3次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   設未知數

   設客廳的長是 $x$ 公尺，寬比長少 $5$ 公尺，所以寬是 $x-5$ 公尺。客廳面積就是 $x(x-5)$ 平方公尺。
2. 2

   算地毯的長和寬

   地毯擺在正中央，邊緣與牆邊的垂直距離都是 $2.5$ 公尺，表示長的那一邊左右各留 $2.5$ 公尺、寬的那一邊上下也各留 $2.5$ 公尺。所以地毯的長 $=x-2.5-2.5=x-5$，地毯的寬 $=(x-5)-2.5-2.5=x-10$。
3. 3

   把面積關係列成方程式

   沒鋪地毯的面積是地毯面積的 $2$ 倍，而客廳總面積 $=$ 地毯 $+$ 沒鋪地毯 $=$ 地毯 $+2\times$ 地毯 $=3\times$ 地毯。所以 $x(x-5)=3(x-5)(x-10)$。
4. 4

   解方程式

   寬 $x-5$ 是實際長度，一定大於 $0$，所以兩邊可以同除以 $(x-5)$，得 $x=3(x-10)$。展開得 $x=3x-30$，移項得 $2x=30$，$x=15$。（不放心約分的話改用展開：$x^2-20x+75=0$，因式分解成 $(x-5)(x-15)=0$，$x=5$ 時寬會變成 $0$、地毯的寬更成了負的，不合理要捨去，一樣得 $x=15$。）
5. 5

   驗算並提醒

   長 $15$、寬 $10$，客廳面積 $150$ 平方公尺；地毯長 $10$、寬 $5$，面積 $50$ 平方公尺；沒鋪的是 $150-50=100$，剛好是 $50$ 的 $2$ 倍，完全符合。常見的錯有兩種：一是把「沒鋪的是地毯的 $2$ 倍」直接列成「總面積 $=2\times$ 地毯」，解出 $x=20$，漏掉了地毯自己也佔在總面積裡；二是只扣一次 $2.5$，把地毯當成 $(x-2.5)(x-7.5)$，那樣解出來不是整數。這一格的答案是客廳的長 $15$ 公尺，這題全對才給分。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用 #面積問題

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