112學年鷺江國中第3次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   從答案反推方程式

   與其猜 $c$、$d$，不如把給的解倒推回去。$x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$ 兩邊同乘 $4$ 得 $4x=-3\pm\sqrt{17}$，把 $-3$ 移到左邊得 $4x+3=\pm\sqrt{17}$。
2. 2

   兩邊平方消掉根號

   $(4x+3)^2=(\pm\sqrt{17})^2=17$，展開左邊得 $16x^2+24x+9=17$，移項整理成 $16x^2+24x-8=0$。
3. 3

   調整成題目的形式

   題目的二次項係數是 $4$，而現在是 $16$，兩邊同除以 $4$：$4x^2+6x-2=0$。和 $4x^2+cx+d=0$ 比對，得 $c=6$、$d=-2$。
4. 4

   用配方法驗算並提醒

   把 $4x^2+6x-2=0$ 照配方法走一次：兩邊除以 $4$ 得 $x^2+\dfrac{3}{2}x=\dfrac{1}{2}$，補上 $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}$ 得 $\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}=\dfrac{17}{16}$，開平方得 $x+\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{17}}{4}$，所以 $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，完全吻合。最常見的錯是把題目給的根當成公式解沒約分過的樣子：看到分子的 $-3$ 就認定 $-b=-3$、看到根號裡的 $17$ 就認定 $b^2-4ac=17$，再把方程式裡的 $a=4$ 代進去，寫成 $3^2-4\times4\times d=9-16d=17$，算出 $d=-\dfrac{1}{2}$。但 $a=4$ 時公式解的分母應該是 $2a=8$，題目給的分母是 $4$，表示分子分母都被 $2$ 約過，分子當然也不是原來的 $-b$ 與 $\sqrt{b^2-4ac}$（沒約分的原樣是 $\dfrac{-6\pm2\sqrt{17}}{8}$）。這一格的答案是 $d=-2$，這題全對才給分。

關鍵觀念：#配方法 #公式解

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