112學年鷺江國中第3次段考數學 第21題 詳解

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逐步解析

1. 1

   設加種的棵數

   設加種 $n$ 棵。總棵數變成 $30+n$ 棵；每加種 $1$ 棵每棵平均產量就少 $10$ 個，加種 $n$ 棵就少 $10n$ 個，所以每棵平均產量是 $500-10n$ 個。
2. 2

   列出方程式

   總收成 $=$ 棵數 $\times$ 每棵產量，所以 $(30+n)(500-10n)=16000$。
3. 3

   化簡並整理成標準式

   先把後面括號的 $10$ 提出來：$10(30+n)(50-n)=16000$，兩邊同除以 $10$ 得 $(30+n)(50-n)=1600$。展開左邊：$1500-30n+50n-n^2=1500+20n-n^2$，所以 $1500+20n-n^2=1600$，移項整理成 $n^2-20n+100=0$。
4. 4

   解出 n

   $n^2-20n+100=(n-10)^2$，所以 $(n-10)^2=0$，得 $n=10$（重根）。
5. 5

   驗算並提醒

   加種 $10$ 棵後共 $30+10=40$ 棵，每棵平均產量 $500-10\times10=400$ 個，總收成 $40\times400=16000$ 個，正確。常見的錯有兩種：一是把未知數設成「總棵數」，那會解出總棵數 $40$，但題目問的是加種幾棵，答 $40$ 就錯了；二是把「每棵平均產量減少 $10$ 個」看成「總產量減少 $10$ 個」，列成 $(30+n)\times500-10n=16000$，解得 $490n=1000$，$n=\dfrac{100}{49}$ 不是整數。這一格的答案是加種 $10$ 棵，這題全對才給分。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用 #產量問題

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