112學年鷺江國中第3次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

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   把「一根為 2」變成代入

   $2$ 是方程式的一個根，表示把 $x=2$ 代進去等式會成立：$(m-3)\times2^2+2-m^2-11m+40=0$，也就是 $4(m-3)+2-m^2-11m+40=0$。代入後只剩 $m$ 一個未知數。
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   展開整理

   $4m-12+2-m^2-11m+40=0$。把同類項併起來：$m$ 的部分 $4m-11m=-7m$，常數部分 $-12+2+40=30$，所以 $-m^2-7m+30=0$。兩邊同乘 $-1$ 得 $m^2+7m-30=0$。
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   因式分解求 m

   要找兩數相乘 $-30$、相加 $7$：$10\times(-3)=-30$ 且 $10+(-3)=7$，所以 $(m+10)(m-3)=0$，得 $m=-10$ 或 $m=3$。
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   檢查是不是一元二次

   題目說這是「$x$ 的一元二次方程式」，二次項係數 $m-3$ 不可以是 $0$，所以 $m\neq3$。實際檢查 $m=3$：二次項係數變成 $0$，常數部分 $-3^2-11\times3+40=-9-33+40=-2$，整個式子變成 $x-2=0$，那是一元一次方程式，不合題意，必須捨去。
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   驗算並提醒

   $m=-10$ 時，二次項係數 $m-3=-13$，常數部分 $-(-10)^2-11\times(-10)+40=-100+110+40=50$，方程式是 $-13x^2+x+50=0$。代 $x=2$：$-13\times4+2+50=-52+52=0$，成立。最常見的失分就是解出 $m=-10$ 和 $m=3$ 之後兩個都寫上去，忘了二次項係數不能為 $0$ 這個限制。這一格的答案是 $m=-10$，這題全對才給分。

關鍵觀念：#一元二次方程式的根 #代入求參數

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