114學年鷺江國中第3次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先整理成一般式

   $2x^2=-5x+2$ 把右邊移到左邊，得 $2x^2+5x-2=0$。這一步不能省：接下來所有的關係都要從一般式來。這個方程式的判別式是 $5^2-4\times 2\times(-2)=25+16=41$，根是無理數，硬算出 $A$ 的值再代入會非常難算，所以要換個做法。
2. 2

   把根代回去得到一個等式

   既然 $A$ 是這個方程式的一個根，把 $x$ 換成 $A$ 一定成立：$2A^2+5A-2=0$，也就是 $2A^2+5A=2$。這個「$2A^2+5A$ 整組等於 $2$」才是這題真正要用的工具。
3. 3

   把要求的式子湊成同一組

   觀察 $12A^2+30A-7$ 的前兩項：$12A^2+30A=6\times(2A^2+5A)$，因為 $6\times 2=12$、$6\times 5=30$，係數比例剛好都是 $6$ 倍。所以 $12A^2+30A-7=6(2A^2+5A)-7$。
4. 4

   兩個半途而廢的誘答

   第一種：算到 $2A^2+5A=2$ 就以為做完，把 $2$ 當答案而誤選 (C)。第二種：代進去算出 $6\times 2=12$，但忘了後面還要減 $7$，直接寫 $12$ 而誤選 (B)。原式尾巴的 $-7$ 一定要跟著走完。
5. 5

   代入求值

   $12A^2+30A-7=6(2A^2+5A)-7=6\times 2-7=12-7=5$，故選 (D)。

關鍵觀念：#一元二次方程式的根 #代入求值

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