114學年鷺江國中第3次段考數學 第6題 詳解

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逐步解析

1. 1

   「兩個相異的解」翻成判別式

   一元二次方程式有兩個相異的解，等價於判別式大於 $0$。注意是「大於」不是「大於等於」：等於 $0$ 的時候只會得到一個重根，那叫「兩個相等的解」，不符合題目要求的「相異」。
2. 2

   代入係數算判別式

   方程式 $4x^2+8x+a=0$ 的二次項係數是 $4$、一次項係數是 $8$、常數項是 $a$。判別式為 $8^2-4\times 4\times a=64-16a$。要有兩個相異解，就需要 $64-16a>0$。
3. 3

   解出 $a$ 的範圍

   由 $64-16a>0$ 得 $64>16a$，兩邊同除以 $16$，得 $a<4$。也就是說 $a$ 必須比 $4$ 小，$4$ 本身不能取。
4. 4

   挑最大的整數並檢查

   比 $4$ 小的整數裡最大的是 $3$。檢查 $a=3$：判別式 $=64-48=16>0$，確實有兩個相異解。若誤把條件寫成「大於等於 $0$」，就會取到 $a=4$ 而誤選 (B)，但 $a=4$ 時判別式 $=64-64=0$，方程式變成 $4x^2+8x+4=0$，也就是 $4(x+1)^2=0$，只有 $x=-1$ 一個解，不符合「相異」。故選 (C)。

關鍵觀念：#判別式 #相異實根

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