114學年鷺江國中第3次段考數學 第5題 詳解

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逐步解析

1. 1

   由兩根倒推回方程式

   如果一個一元二次方程式的解是 $4$ 與 $7$，代表 $x-4=0$ 或 $x-7=0$，所以它可以寫成 $(x-4)(x-7)=0$。這題的方程式 $x^2+ax+b=0$ 二次項係數是 $1$，和 $(x-4)(x-7)$ 展開後的二次項係數一致，兩式可以直接對應。
2. 2

   展開後比較係數

   $(x-4)(x-7)=x^2-7x-4x+28=x^2-11x+28$。把它和 $x^2+ax+b$ 一項一項對照：一次項係數 $a=-11$，常數項 $b=28$。可以回頭驗算：$x=4$ 時 $16-44+28=0$，$x=7$ 時 $49-77+28=0$，兩個都成立。
3. 3

   兩個常見的誤算

   第一種：把一次項係數 $a$ 直接寫成兩根相加的 $11$（忘了展開時一次項係數是兩根和的相反數），就會算成 $11+28=39$ 而誤選 (D)。第二種：把題目問的 $a+b$ 看成「兩個根相加」，算出 $4+7=11$ 而誤選 (B)。$a$、$b$ 是方程式的係數，不是根，兩者不能混用。
4. 4

   算出 $a+b$

   $a+b=(-11)+28=17$，故選 (A)。

關鍵觀念：#根與係數關係

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