108學年鷺江國中第3次段考數學 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   設上山時速

   設上山時速為每小時 $x$ 公里，則下山時速為每小時 $x+2$ 公里。山路長都是 $12$ 公里，時間 $=$ 路程 $\div$ 速率，所以上山花 $\dfrac{12}{x}$ 小時、下山花 $\dfrac{12}{x+2}$ 小時。
2. 2

   列出方程式並去分母

   上、下山合計 $5$ 小時：$$\frac{12}{x}+\frac{12}{x+2}=5$$ 兩邊同乘 $x(x+2)$ 去分母，得 $12(x+2)+12x=5x(x+2)$。
3. 3

   整理並十字交乘

   左邊 $12x+24+12x=24x+24$，右邊 $5x^2+10x$。移項得 $5x^2+10x-24x-24=0$，即 $5x^2-14x-24=0$。十字交乘分解：$(5x+6)(x-4)=5x^2-20x+6x-24=5x^2-14x-24$，吻合。
4. 4

   解出並檢驗

   由 $(5x+6)(x-4)=0$ 得 $x=-\dfrac{6}{5}$ 或 $x=4$。速率不可能是負數，故 $x=4$。檢驗：上山 $12\div4=3$ 小時，下山時速 $4+2=6$，$12\div6=2$ 小時，合計恰好 $5$ 小時。上山時速為每小時 $4$ 公里，故選 (A)。
5. 5

   (B) 的 $6$ 是什麼

   (B) 的 $6$ 其實是下山時速。如果一開始設的是下山時速 $x$、上山時速 $x-2$，方程式 $\dfrac{12}{x-2}+\dfrac{12}{x}=5$ 解出來就是 $x=6$，那是下山的速率；題目問的是上山時速，還要再減 $2$ 才得到 $4$。

關鍵觀念：#應用問題 #一元二次方程式 #速度與時間

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