108學年鷺江國中第3次段考數學 第12題 詳解

逐步解析

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   第 (1) 格：湊和與積

   $x^2+7x+10$ 的二次項係數是 $1$，只要找兩個數相乘得 $10$、相加得 $7$。$2$ 與 $5$ 正好符合（$2\times5=10$，$2+5=7$）。所以 ① $=(x+2)(x+5)$。
2. 2

   第 (2) 格：十字交乘

   $3x^2+22x+7$ 的二次項係數 $3$ 只能拆成 $3\times1$，常數 $7$ 是質數只能拆成 $1\times7$。試 $(3x+1)(x+7)$，中間項為 $3x\times7+1\times x=21x+x=22x$，正是所求。所以 ② $=(3x+1)(x+7)$。
3. 3

   第 (3) 格：先清掉分數

   係數有分數時，先把 $\dfrac{1}{2}$ 提出來，讓括號內變成整數係數：$$3x^2-\frac{13}{2}x+1=\frac{1}{2}\left(6x^2-13x+2\right)$$ 再對 $6x^2-13x+2$ 十字交乘：$(6x-1)(x-2)=6x^2-12x-x+2=6x^2-13x+2$，吻合。所以 ③ $=\dfrac{1}{2}(6x-1)(x-2)$。
4. 4

   第 (4) 格：整個括號換元

   令 $t=5x-4$，原式變成 $t^2-6t+9$，這是完全平方式 $(t-3)^2$。把 $t$ 換回去：$(5x-4-3)^2=(5x-7)^2$。所以 ④ $=(5x-7)^2$。
5. 5

   第 (5) 格：同樣用換元

   令 $t=x^2+x$，原式成為 $(t+2)(t+12)+16=t^2+14t+24+16=t^2+14t+40$。再十字交乘：$t^2+14t+40=(t+4)(t+10)$（因為 $4\times10=40$、$4+10=14$）。換回 $t=x^2+x$，得 ⑤ $=(x^2+x+10)(x^2+x+4)$。

關鍵觀念：#因式分解 #十字交乘法 #換元法

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