109學年新莊國中第1次段考數學 第22題 詳解

逐步解析

1. 1

   整除的意思

   $A$ 除以 $B$ 能整除，表示直式除法做到最後餘式是 0。把 $m$ 當成一個數，直接做 $(4x^3-8x^2+mx+3)\div(2x-3)$。
2. 2

   直式除法前兩步

   第一步商 $2x^2$：$2x^2(2x-3)=4x^3-6x^2$，相減得 $-2x^2+mx$。第二步商 $-x$：$-x(2x-3)=-2x^2+3x$，相減得 $(m-3)x+3$。
3. 3

   求 m

   剩下的 $(m-3)x+3$ 還是一次式，要被 $2x-3$ 除盡，它必須是 $2x-3$ 乘一個常數 $k$：$(m-3)x+3=2kx-3k$。比較常數項 $3=-3k$，得 $k=-1$；比較一次項 $m-3=2k=-2$，得 $m=1$。答：$m=1$。
4. 4

   寫出商式

   $m=1$ 時剩下 $-2x+3=(-1)(2x-3)$，第三步商 $-1$，餘式 0。商式為 $2x^2-x-1$。
5. 5

   乘回去驗算

   $(2x-3)(2x^2-x-1)=4x^3-2x^2-2x-6x^2+3x+3=4x^3-8x^2+x+3$，正是 $m=1$ 時的 $A$。答：商式為 $2x^2-x-1$。

關鍵觀念：#多項式除法 #整除

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