109學年新莊國中第1次段考數學 第21題 詳解

答案(1) $m=-539$ (2) $n=15$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   (1) 正整數的條件

   $\sqrt{540+m}$ 是正整數，表示 $540+m$ 是正整數的平方，可能是 $1,4,9,16,\cdots$。注意 $\sqrt0=0$ 不是正整數，所以 $540+m$ 不能是 0。
2. 2

   (1) 取最小的平方數

   $m$ 是整數、可以是負的。$540+m$ 越小，$m$ 就越小，所以取最小的正平方數 1：$540+m=1$，$m=-539$。答：$m=-539$。
3. 3

   (2) 質因數分解

   $540=2^2\times3^3\times5$。一個正整數是完全平方數，它的每個質因數次方都要是偶數。現在 3 的次方是 3、5 的次方是 1，都是奇數。
4. 4

   (2) 補成偶數次方

   $n$ 至少要補一個 3 和一個 5，所以 $n$ 最小取 $3\times5=15$：$540\times15=2^2\times3^4\times5^2=(2\times3^2\times5)^2=90^2$，$\sqrt{8100}=90$。$n$ 若是 0 或負數，根號內是 0 或負數，不合。答：$n=15$。

關鍵觀念：#質因數分解 #完全平方數 #平方根