112學年鷺江國中第2次段考數學 第16題 詳解

答案(1) $6a-10$ (2) $\sqrt{109}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   把面積因式分解

   長方形面積等於長乘寬，既然寬是 $a-3$，那麼把面積分解之後，$a-3$ 一定會是其中一個因式，剩下的就是長。先分解：$2a^2-8a+6=2(a^2-4a+3)=2(a-1)(a-3)$。先提出係數 $2$ 再交乘，比直接硬交乘穩得多。
2. 2

   第一小題：求出長與周長

   把寬 $a-3$ 從 $2(a-1)(a-3)$ 中約掉，得到長 $=2(a-1)=2a-2$。周長是長與寬和的兩倍：$2\left[(2a-2)+(a-3)\right]=2(3a-5)=6a-10$。所以第一小題的答案是：長方形的周長為 $6a-10$。
3. 3

   第二小題第一步：代入 a 等於 6

   把 $a=6$ 代進去：寬 $=6-3=3$，長 $=2\times 6-2=10$。順手驗一下面積：$3\times 10=30$，而 $2\times 6^2-8\times 6+6=72-48+6=30$，兩邊吻合，代入無誤。
4. 4

   第二小題第二步：對角線用畢氏定理

   長方形的一條對角線會把它切成兩個直角三角形，兩股就是長和寬。設對角線長為 $d$，由畢氏定理 $d^2=3^2+10^2=9+100=109$，所以 $d=\sqrt{109}$。$109$ 是質數，沒有平方因數可提，已是最簡根式。所以第二小題的答案是：對角線長為 $\sqrt{109}$。
5. 5

   兩小題的結果

   第一小題：周長 $=6a-10$；第二小題：當 $a=6$ 時，對角線 $=\sqrt{109}$。兩個答案都可以回頭檢查：$a=6$ 代入 $6a-10$ 得 $26$，而 $2\times(10+3)=26$，一致；$\sqrt{109}$ 大約 $10.4$，比長邊 $10$ 稍長，符合對角線一定比任一邊長的常識。

關鍵觀念：#因式分解 #長方形周長 #畢氏定理

同主題一起複習：平面幾何 → 多項式與方程式 →