108學年鷺江國中第1次段考數學 第6題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把三角形分成左右兩塊

   $R$ 在 $\overline{BC}$ 上，$\triangle ABR$ 與 $\triangle ACR$ 分別以 $\overline{BR}$、$\overline{RC}$ 為底，高都是 $A$ 到 $\overline{BC}$ 的距離，所以面積比就是 $\overline{BR}:\overline{RC}=2:3$。為了好算，取 $\triangle ABC$ 的面積為 $105$，則 $\triangle ABR=42$、$\triangle ACR=63$。
2. 2

   把兩個比換成對 AR 的比

   $\overline{AP}:\overline{PR}=2:5$，兩段合起來是 $\overline{AR}$，所以 $\overline{AP}:\overline{AR}=2:7$；$\overline{AQ}:\overline{QR}=2:1$，所以 $\overline{AQ}:\overline{AR}=2:3$。
3. 3

   算出三角形 ABQ 的面積

   $\triangle ABQ$ 與 $\triangle ABR$ 分別以 $\overline{AQ}$、$\overline{AR}$ 為底，頂點同樣是 $B$，高相同，所以面積比等於 $\overline{AQ}:\overline{AR}=2:3$。因此 $\triangle ABQ=42\times\dfrac{2}{3}=28$。
4. 4

   算出三角形 ACP 的面積

   同理 $\triangle ACP$ 與 $\triangle ACR$ 的頂點同樣是 $C$，面積比等於 $\overline{AP}:\overline{AR}=2:7$。因此 $\triangle ACP=63\times\dfrac{2}{7}=18$。
5. 5

   求比並化簡

   $\triangle ABQ:\triangle ACP=28:18=14:9$。故選 (C)。

關鍵觀念：#三角形面積比 #線段比例

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