112學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

答案$\sqrt{35}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先看懂圖上誰是誰

   圖中 $A$ 在左上、$D$ 在右上、$B$ 在左下、$C$ 在右下。$\overline{AD}$ 是上面那條長邊，$\overline{AB}$ 與 $\overline{DC}$ 是左右兩條邊。$P$ 落在上邊 $\overline{AD}$ 上，$\overline{PQ}$ 是把長方形切成左右兩塊的鉛直線。題目給的 $\overline{CD}=3\sqrt{3}$ 就是右邊那條邊。
2. 2

   由周長求出 AD

   長方形的周長是兩條長加兩條寬，也就是長與寬和的兩倍。列式 $2\times(\overline{AD}+\overline{CD})=14\sqrt{2}+6\sqrt{3}$，兩邊同除以 $2$ 得 $\overline{AD}+3\sqrt{3}=7\sqrt{2}+3\sqrt{3}$，兩邊再減去 $3\sqrt{3}$，得到 $\overline{AD}=7\sqrt{2}$。
3. 3

   求出 PD

   $P$ 在 $\overline{AD}$ 上，把上邊分成 $\overline{PA}$ 與 $\overline{PD}$ 兩段，所以 $\overline{PD}=\overline{AD}-\overline{PA}=7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。根號內相同，係數直接相減即可。
4. 4

   用畢氏定理算 PC

   連出 $\overline{PC}$，看直角三角形 $PDC$：$\angle D$ 是長方形的角，等於 $90^\circ$，兩股分別是 $\overline{PD}=2\sqrt{2}$ 與 $\overline{DC}=3\sqrt{3}$。由畢氏定理 $\overline{PC}^2=(2\sqrt{2})^2+(3\sqrt{3})^2=4\times 2+9\times 3=8+27=35$。
5. 5

   開根號並確認最簡

   $\overline{PC}=\sqrt{35}$。$35=5\times 7$，沒有平方因數可以提出來，已經是最簡根式。所以 $\overline{PC}=\sqrt{35}$ 公分。

關鍵觀念：#根式運算 #長方形周長