112學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

答案(1) $x(4x+5y-1)$ (2) $(9x+25)(x+1)$ (3) $(7x-5)(3x+1)$ (4) $(x+2)(x+7)$ (5) $(x-4)(3y-2)$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   第一小題：提公因式

   $4x^2+5xy-x$ 三項都含有 $x$，先把 $x$ 提出來，再逐項相除：$4x^2\div x=4x$、$5xy\div x=5y$、$-x\div x=-1$。所以 $4x^2+5xy-x=x(4x+5y-1)$。最後一項提完是 $-1$ 而不是 $0$，這一點最常漏掉。
2. 2

   第二小題：十字交乘

   $9x^2+34x+25$ 的首項拆成 $9x$ 與 $x$，常數項拆成 $25$ 與 $1$。交叉相乘相加：$9x\times 1+x\times 25=9x+25x=34x$，正好是中間項，配對成功。所以 $9x^2+34x+25=(9x+25)(x+1)$。
3. 3

   第三小題：平方差公式

   整個式子是「平方減平方」，令 $a=5x-2$、$b=2x-3$，用 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。$a+b=(5x-2)+(2x-3)=7x-5$；$a-b=(5x-2)-(2x-3)=5x-2-2x+3=3x+1$。所以結果是 $(7x-5)(3x+1)$。相減時後面括號的每一項都要變號，這裡最容易出錯。
4. 4

   第四小題：換元再交乘

   把 $x+1$ 整包看成一個字母 $t$，式子成為 $t^2+7t+6$，交乘得 $(t+1)(t+6)$。再換回去：$t+1=(x+1)+1=x+2$，$t+6=(x+1)+6=x+7$。所以結果是 $(x+2)(x+7)$。
5. 5

   第五小題：展開後分組分解

   先把括號拆開：$(3xy+8)-2(x+6y)=3xy+8-2x-12y$。重新排成 $3xy-2x-12y+8$，前兩項提 $x$ 得 $x(3y-2)$，後兩項提 $-4$ 得 $-4(3y-2)$，兩組都出現 $3y-2$，再提一次就得到 $(3y-2)(x-4)$，也就是 $(x-4)(3y-2)$。
6. 6

   乘回去檢查

   五格依序是 $x(4x+5y-1)$、$(9x+25)(x+1)$、$(7x-5)(3x+1)$、$(x+2)(x+7)$、$(x-4)(3y-2)$。乘回去都會還原，例如 $(x-4)(3y-2)=3xy-2x-12y+8$，與第五小題展開整理後的式子一模一樣；$(9x+25)(x+1)=9x^2+9x+25x+25=9x^2+34x+25$，也回到原式。

關鍵觀念：#因式分解 #提公因式 #十字交乘法 #平方差公式 #分組分解

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