112學年鷺江國中第2次段考數學 第11題 詳解

逐步解析

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   先記牢最簡根式的三個條件

   這大題明白要求答案必須化成最簡根式，所以每算完一小題都要回頭確認能不能停筆。最簡根式要同時做到三件事：根號內不含平方因數、根號內不是分數、分母不留根號。每算完一小題都回頭對照這三條，再決定能不能停筆。
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   第一小題：根號內直接相除

   除法可以把兩個根號併成一個：$\sqrt{\dfrac{16}{54}}\div\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{16}{54}\div\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{16}{54}\times\dfrac{3}{8}}=\sqrt{\dfrac{48}{432}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$。根號整個開得盡，結果是有理數，自然已經最簡。第一格填 $\dfrac{1}{3}$。
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   第二小題：分母有理化

   分母是 $\sqrt{3}-1$，要乘上它的同伴 $\sqrt{3}+1$，而且分子必須跟著乘：$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{3-1}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。分母已無根號，$\sqrt{6}$、$\sqrt{2}$ 的根號內也沒有平方因數，不能再化，第二格填 $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。
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   第三小題：先化簡再套完全平方

   $\sqrt{4}=2$、$\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$，原式變成 $(2-2\sqrt{3})^2$。套 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：$2^2-2\times 2\times 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=4-8\sqrt{3}+4\times 3=4-8\sqrt{3}+12=16-8\sqrt{3}$。$\sqrt{3}$ 的根號內沒有平方因數，而 $16$ 與 $-8\sqrt{3}$ 一個是整數一個帶根號，不同類不能再合併，第三格填 $16-8\sqrt{3}$。
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   第四小題：平方差公式

   形狀正好是 $(a+b)(a-b)$，其中 $a=2\sqrt{2}$、$b=4\sqrt{3}$：$(2\sqrt{2})^2-(4\sqrt{3})^2=2^2\times 2-4^2\times 3=8-48=-40$。係數與根號都要平方，結果是整數，沒有根號自然最簡，第四格填 $-40$。
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   四格整理

   四格依序是 $\dfrac{1}{3}$、$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$、$16-8\sqrt{3}$、$-40$。逐格檢查：根號內都沒有平方因數、都不是分數，分母也都沒有根號，四個答案全都符合最簡根式的要求。

關鍵觀念：#根式化簡 #根式乘除 #根式有理化 #平方差公式