112學年鷺江國中第2次段考數學 第14題 詳解

逐步解析

1. 1

   先把共同的 A 提出來

   式子是 $A\times B+A\times C$，兩項都有 $A$，用分配律反過來寫成 $A\times(B+C)$。這樣只要做一次乘法，比先算 $A\times B$、再算 $A\times C$、最後相加省事得多，也比較不會漏項。
2. 2

   把 B、C 的每一項化到最簡

   $2\sqrt{18}=2\times\sqrt{9\times 2}=2\times 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，所以 $B=6\sqrt{2}+3\sqrt{3}$。$2\sqrt{8}=2\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$、$2\sqrt{12}=2\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，所以 $C=4\sqrt{2}-4\sqrt{3}$。
3. 3

   同類方根才能合併

   $B+C=(6\sqrt{2}+3\sqrt{3})+(4\sqrt{2}-4\sqrt{3})$。只有根號內相同的才能相加減：$6\sqrt{2}+4\sqrt{2}=10\sqrt{2}$，$3\sqrt{3}-4\sqrt{3}=-\sqrt{3}$。所以 $B+C=10\sqrt{2}-\sqrt{3}$，這兩項根號內不同，到此為止不能再併。
4. 4

   乘上 A

   $A\times(B+C)=4\sqrt{3}\times(10\sqrt{2}-\sqrt{3})$，用分配律逐項乘：$4\sqrt{3}\times 10\sqrt{2}=40\sqrt{6}$；$4\sqrt{3}\times(-\sqrt{3})=-4\times(\sqrt{3})^2=-4\times 3=-12$。所以結果是 $40\sqrt{6}-12$。
5. 5

   確認最簡並作答

   $\sqrt{6}=\sqrt{2\times 3}$ 根號內沒有平方因數，已是最簡根式；$40\sqrt{6}$ 帶根號、$-12$ 是整數，兩者不同類不能合併。所以 $A\times B+A\times C=40\sqrt{6}-12$。

關鍵觀念：#根式化簡 #分配律