112學年鷺江國中第2次段考數學 第17題 詳解

逐步解析

1. 1

   先把能開的根號開掉

   $\sqrt{4}=2$，所以 $x=\dfrac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}=\dfrac{2}{\sqrt{6}+2}$，而 $y=\sqrt{4}=2$。開得盡的根號一定要先化成整數，留著它會看不出後面可以約分。
2. 2

   把 x 的分母有理化

   分母有根號時要乘上它的同伴 $\sqrt{6}-2$，分子分母同時乘才不會改變大小：$x=\dfrac{2(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}=\dfrac{2(\sqrt{6}-2)}{6-4}=\dfrac{2(\sqrt{6}-2)}{2}=\sqrt{6}-2$。
3. 3

   整個式子先用平方差化簡

   別急著把數字代進 $(x+y)^2$ 和 $(x-y)^2$ 硬展開。把 $x+y$ 和 $x-y$ 各看成一整包，用平方差公式：$(x+y)^2-(x-y)^2=\left[(x+y)+(x-y)\right]\left[(x+y)-(x-y)\right]=2x\times 2y=4xy$。
4. 4

   代入求值

   $4xy=4\times(\sqrt{6}-2)\times 2=8(\sqrt{6}-2)=8\sqrt{6}-16$。乘進括號時兩項都要乘到，$8\times\sqrt{6}=8\sqrt{6}$、$8\times(-2)=-16$。
5. 5

   確認最簡並寫出結論

   $\sqrt{6}=\sqrt{2\times 3}$ 根號內沒有平方因數，已是最簡根式；$8\sqrt{6}$ 帶根號、$-16$ 是整數，不同類不能合併。所以 $(x+y)^2-(x-y)^2=8\sqrt{6}-16$。

關鍵觀念：#根式有理化 #平方差公式