108學年鷺江國中第1次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先求邊長並定出 F 的位置

   正方形面積為 $4$，所以邊長 $=\sqrt{4}=2$。$\triangle BCF$ 是等腰三角形而 $F$ 在 $\overline{AD}$ 上：若 $\overline{FB}=\overline{BC}$ 或 $\overline{FC}=\overline{BC}$，$F$ 會被逼到頂點 $A$ 或 $D$ 上，所以只能是 $\overline{FB}=\overline{FC}$，$F$ 正好是 $\overline{AD}$ 的中點，$\overline{AF}=1$。
2. 2

   找出交點處的相似三角形

   $\overline{AD}/\!/\overline{BC}$，所以 $\overline{AF}/\!/\overline{BC}$。$\overline{AC}$ 與 $\overline{BF}$ 交於 $E$，由內錯角相等與對頂角相等，$\triangle EAF\sim\triangle ECB$。
3. 3

   算出 EF 佔整條 FB 的幾分之幾

   相似比 $\overline{AF}:\overline{CB}=1:2$，所以 $\overline{EF}:\overline{EB}=1:2$。整條 $\overline{FB}=\overline{FE}+\overline{EB}$ 共 $1+2=3$ 份，$\overline{EF}$ 只佔其中 $\dfrac{1}{3}$。
4. 4

   算出三角形 BCF 的面積

   $\triangle BCF$ 以 $\overline{BC}=2$ 為底，頂點 $F$ 在 $\overline{AD}$ 上，高就是兩條平行邊的距離 $2$，所以面積 $=\dfrac{1}{2}\times 2\times 2=2$。
5. 5

   求三角形 CEF 的面積並作答

   $\triangle CEF$ 與 $\triangle CBF$ 的頂點同為 $C$，底 $\overline{EF}$ 與 $\overline{BF}$ 在同一直線上，面積比等於 $\overline{EF}:\overline{BF}=1:3$。所以 $\triangle CEF=2\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$。故選 (B)。

關鍵觀念：#正方形 #等腰三角形 #面積比 #相似三角形

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