113學年鷺江國中第3次段考數學 第3題 詳解

逐步解析

1. 1

   錯在「消去」這兩個字

   題目說「可先將等號兩邊的 $(2x+1)$ 消去」。消去的意思是兩邊同除以 $(2x+1)$，而除法有一個前提：除數不可以是 $0$。當 $2x+1=0$，也就是 $x=-\dfrac{1}{2}$ 時，這一步根本不能做；一旦做了，就等於偷偷假設 $x\ne-\dfrac{1}{2}$，把這個解丟掉了。
2. 2

   正確做法：移項提公因式

   $(2x+1)(x+4)=(2x+1)(2x+3)$，把右邊整個移到左邊：$(2x+1)(x+4)-(2x+1)(2x+3)=0$。兩項都有公因式 $(2x+1)$，提出來得 $(2x+1)\left[(x+4)-(2x+3)\right]=0$。中括號裡整理：$x+4-2x-3=-x+1$，所以式子成為 $(2x+1)(-x+1)=0$。
3. 3

   解出全部的解

   由 $(2x+1)(-x+1)=0$ 可知 $2x+1=0$ 或 $-x+1=0$，分別解得 $x=-\dfrac{1}{2}$ 或 $x=1$。這個方程式有兩個解，而題目的敘述只寫出 $x=1$，少了一個。
4. 4

   用反例確認並下結論

   把被丟掉的 $x=-\dfrac{1}{2}$ 代回原式檢查：左邊 $=\left(2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)+1\right)\times\left(-\dfrac{1}{2}+4\right)=0\times\dfrac{7}{2}=0$；右邊 $=\left(2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)+1\right)\times\left(2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3\right)=0\times2=0$。左右都是 $0$，$x=-\dfrac{1}{2}$ 確實是這個方程式的解，卻被「消去」的動作丟掉了。因此敘述錯誤，本題應答 ×。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #解方程式的常見錯誤

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