113學年鷺江國中第3次段考數學 第2題 詳解

逐步解析

1. 1

   判別式在看什麼

   一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的公式解是 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，根號裡的 $b^2-4ac$ 就叫判別式。它的正負決定了根號開不開得出來，也就決定了方程式有沒有解。
2. 2

   不靠公式，改用配方說明

   把 $ax^2+bx+c=0$ 兩邊同除以 $a$：$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$，移項得 $x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$。兩邊同加 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ 配方，得 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$。
3. 3

   為什麼所有情況都無解

   左邊 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ 是一個數的平方，不論 $x$ 代什麼數都 $\ge0$；右邊分母 $4a^2>0$、分子 $b^2-4ac<0$，所以右邊必定是負數。「非負數」不可能等於「負數」，因此不管 $a$、$b$、$c$ 是哪些數，只要判別式是負的，就找不到任何 $x$ 使等式成立。這是一次涵蓋全部情況的推理，不是舉一個例子而已。
4. 4

   下結論

   由上面的推理，$b^2-4ac<0$ 時方程式在我們學過的數裡沒有解，也就是無解。舉個例子看得更清楚：$x^2+x+1=0$ 的 $b^2-4ac=1^2-4\times1\times1=-3<0$，配方後為 $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=-\dfrac{3}{4}$，右邊是負數，果然無解。所以本題敘述正確，應答 ○。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #判別式

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