113學年鷺江國中第3次段考數學 第4題 詳解

逐步解析

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   完全平方式長什麼樣

   完全平方式是指可以寫成某個式子平方的多項式，例如 $(px+q)^2=p^2x^2+2pqx+q^2$。從展開式看得出來，一個二次式若是完全平方式，三項之間必須滿足「中間項 $=2\times$（首項的平方根）$\times$（末項的平方根）」，三項要互相對得上才行。
2. 2

   先把首項與末項拆開

   $9x^2-6x+4$ 的首項 $9x^2=(3x)^2$，末項 $4=2^2$。如果它真是完全平方式，因為中間項是負的，就只可能是 $(3x-2)^2$ 這一種。
3. 3

   展開比對，指出錯在哪一項

   實際展開：$(3x-2)^2=9x^2-2\times3x\times2+4=9x^2-12x+4$。它的一次項是 $-12x$，題目給的卻是 $-6x$，對不起來。換句話說錯在一次項係數：要配成完全平方式，$-6x$ 必須改成 $-12x$。反過來說，若一次項固定是 $-6x$，那常數項就必須是 $\left(\dfrac{-6}{2\times3}\right)^2=1$，也就是 $(3x-1)^2=9x^2-6x+1$，末項應該是 $1$ 而不是 $4$。
4. 4

   再驗算一次並下結論

   用具體數字確認：取 $x=1$，原式 $9-6+4=7$；但若它是 $(3x-2)^2$，代 $x=1$ 應得 $(3-2)^2=1$，兩者不合。也可以用判別式檢查，完全平方式要求 $b^2-4ac=0$，而這裡 $(-6)^2-4\times9\times4=36-144=-108\ne0$。所以 $9x^2-6x+4$ 不是完全平方式，本題應答 ×。

關鍵觀念：#完全平方式