113學年鷺江國中第3次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   兩根和只看前兩個係數

   一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的兩根之和等於 $-\dfrac{b}{a}$。本題 $x^2+x+(m-4)=0$ 中 $a=1$、$b=1$，所以兩根之和為 $-\dfrac{1}{1}=-1$。注意常數項雖然含著未知的 $m$，但兩根和只跟 $a$、$b$ 有關，$m$ 完全用不到。
2. 2

   列式求另一根

   兩個根分別是 $4$ 和 $a$，兩者相加要等於 $-1$，所以 $4+a=-1$，移項得 $a=-1-4=-5$。
3. 3

   換一條路從頭驗算

   既然 $4$ 是解，把 $x=4$ 代入原式：$4^2+4+(m-4)=0$，即 $16+4+m-4=0$，得 $m=-16$。於是方程式變成 $x^2+x-20=0$，因式分解為 $(x-4)(x+5)=0$，兩解是 $x=4$ 與 $x=-5$，確實另一根就是 $-5$。
4. 4

   排除誤答並下結論

   (B) $-3$ 來自把兩根和記成 $+\dfrac{b}{a}=1$（漏掉公式前面的負號），於是 $4+a=1$ 算出 $a=1-4=-3$。(C) $-4$ 則是不列式、直接寫出 $4$ 的相反數；檢查一下 $4+(-4)=0$，但兩根和必須是 $-1$，對不上。故選 (D)。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #根與係數

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