113學年鷺江國中第3次段考數學 第9題 詳解

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逐步解析

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   判別式決定有沒有解

   對 $ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），判別式 $D=b^2-4ac$。$D>0$ 有兩個不同的解，$D=0$ 有一個重根，$D<0$ 才是無解。所以這題的做法就是把四個選項的判別式一個一個算出來，看誰是負的。
2. 2

   算 (A) 和 (B)

   (A) $3x^2+2x+1=0$：$D=2^2-4\times3\times1=4-12=-8<0$，無解。(B) $-2x^2-x+1=0$：$D=(-1)^2-4\times(-2)\times1=1+8=9>0$，有兩個解；實際解出來也可以——兩邊同乘 $-1$ 得 $2x^2+x-1=0$，分解成 $(2x-1)(x+1)=0$，解為 $x=\dfrac{1}{2}$ 或 $x=-1$。
3. 3

   算 (C) 和 (D)

   (C) $(x+1)(3x-2)=0$ 已經分解好了，直接得 $x=-1$ 或 $x=\dfrac{2}{3}$，有兩個解。(D) $2x^2-9x+5=0$：$D=(-9)^2-4\times2\times5=81-40=41>0$，也有兩個解，只是 $41$ 不是完全平方數，解寫成 $x=\dfrac{9\pm\sqrt{41}}{4}$ 帶著根號而已。
4. 4

   下結論

   四個選項中只有 (A) 的判別式是負的。最容易誤選的是 (D)：因為 $2x^2-9x+5$ 在整數範圍內分解不開，很多人就以為「分解不出來就是無解」，但 $D=41>0$，它其實有兩個帶根號的解。(B) 也常被誤選，因為二次項係數是負的看起來怪怪的；其實係數正負不影響有沒有解，關鍵永遠是判別式。故選 (A)。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #判別式 #無解判斷

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