108學年鷺江國中第2次段考數學 第2題 詳解

逐步解析

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   因式分解的順序

   拿到式子先照順序看三件事：有沒有公因式（含整個括號當公因式）、是不是平方差 $A^2-B^2$、是不是完全平方 $A^2\pm2AB+B^2$；都不是才考慮十字交乘。先看結構往往比硬展開快得多。
2. 2

   甲乙：公因式與平方

   (甲) 兩項都有 $x$，提出來：$9x^2-2x=x(9x-2)$。 (乙) 先降冪排成 $4x^2-12x+9$，看出 $4x^2=(2x)^2$、$9=3^2$、$-12x=-2\times2x\times3$，正是完全平方，所以 $=(2x-3)^2$。
3. 3

   丙丁：平方差與分組

   (丙) 把 $(5x-2)$ 整包當成 $A$、$16=4^2$，套平方差：$(5x-2)^2-4^2=[(5x-2)+4][(5x-2)-4]=(5x+2)(5x-6)$。 (丁) 四項先兩兩分組：$x^2-ax+bx-ab=x(x-a)+b(x-a)=(x-a)(x+b)$。
4. 4

   戊：換元看清結構

   令 $t=2x-5$，原式變成 $16t^2+8t+1$。因為 $16t^2=(4t)^2$、$1=1^2$、$8t=2\times4t\times1$，所以 $16t^2+8t+1=(4t+1)^2$。再把 $t$ 換回去：$4t+1=4(2x-5)+1=8x-20+1=8x-19$，故原式 $=(8x-19)^2$。
5. 5

   己庚：提公因式

   (己) 兩項都有 $(x-2)$：$(x-2)[(2x-3)+(x-7)]=(x-2)(3x-10)$。 (庚) 關鍵是 $4-3x=-(3x-4)$，所以原式 $=(3x-4)^2-(3x-4)=(3x-4)[(3x-4)-1]=(3x-4)(3x-5)$。
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   七格答案總整理

   (甲) $x(9x-2)$；(乙) $(2x-3)^2$；(丙) $(5x+2)(5x-6)$；(丁) $(x-a)(x+b)$；(戊) $(8x-19)^2$；(己) $(x-2)(3x-10)$；(庚) $(3x-4)(3x-5)$。每一題把答案乘回去，能還原成原式才算真的分解對。

關鍵觀念：#因式分解 #十字交乘法 #完全平方公式 #平方差公式

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