108學年鷺江國中第2次段考數學 第1題 詳解

逐步解析

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   最簡根式的標準

   「最簡根式」要同時做到兩件事：根號內不能再留完全平方因數，分母不能留根號。運算上會一直用到 $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$ 與 $\sqrt a\div\sqrt b=\sqrt{\dfrac ab}$（$a\ge0$、$b>0$）。六小題算完都要回頭照這兩條檢查一次。
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   甲乙：乘法與平方

   (甲) $\sqrt{10}\times\sqrt{15}=\sqrt{150}=\sqrt{25\times6}=5\sqrt6$。 (乙) 用完全平方公式展開：$(\sqrt2-\sqrt6)^2=(\sqrt2)^2-2\times\sqrt2\times\sqrt6+(\sqrt6)^2=2-2\sqrt{12}+6=8-2\times2\sqrt3=8-4\sqrt3$。
3. 3

   丙：相除後有理化

   兩個根號相除，先把根號裡合併成一個分數：$\sqrt{\dfrac{3}{10}}\div\sqrt{\dfrac92}=\sqrt{\dfrac{3}{10}\times\dfrac29}=\sqrt{\dfrac{1}{15}}=\dfrac{1}{\sqrt{15}}$。分母不能留根號，上下同乘 $\sqrt{15}$ 得 $\dfrac{\sqrt{15}}{15}$。
4. 4

   丁：化簡再合併

   四項各自先化到最簡：$\sqrt{24}=2\sqrt6$、$\sqrt{18}=3\sqrt2$、$\sqrt{216}=6\sqrt6$、$\sqrt{72}=6\sqrt2$。所以原式 $=2\sqrt6-3\sqrt2-6\sqrt6+6\sqrt2=(2-6)\sqrt6+(-3+6)\sqrt2=-4\sqrt6+3\sqrt2$。
5. 5

   戊：乘開後抵消

   用分配律乘開：$(\sqrt{21}+\sqrt3)(\sqrt7-1)=\sqrt{21}\times\sqrt7-\sqrt{21}+\sqrt3\times\sqrt7-\sqrt3=\sqrt{147}-\sqrt{21}+\sqrt{21}-\sqrt3$。中間兩項剛好抵消，而 $\sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=7\sqrt3$，所以結果是 $7\sqrt3-\sqrt3=6\sqrt3$。
6. 6

   己：乘共軛有理化

   分母是 $\sqrt5-\sqrt2$，要乘的是它的共軛 $\sqrt5+\sqrt2$，才能用平方差把根號消掉：$\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt5-\sqrt2}=\dfrac{\sqrt{10}(\sqrt5+\sqrt2)}{(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)}=\dfrac{\sqrt{50}+\sqrt{20}}{5-2}=\dfrac{5\sqrt2+2\sqrt5}{3}$。
7. 7

   六格答案總整理

   (甲) $5\sqrt6$；(乙) $8-4\sqrt3$；(丙) $\dfrac{\sqrt{15}}{15}$；(丁) $-4\sqrt6+3\sqrt2$；(戊) $6\sqrt3$；(己) $\dfrac{5\sqrt2+2\sqrt5}{3}$。六格再掃一次：根號內都沒有完全平方因數、分母都沒有根號，全部都是最簡根式。

關鍵觀念：#根式化簡 #根式四則運算 #分母有理化