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111學年鷺江國中第1次段考數學 第7題 詳解

多項式乘除混合次數判斷 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
已知甲為 xx 的四次多項式，乙為 xx 的三次多項式，丙為 xx 的二次多項式，則運算 (乙×\times丙−-甲) 的結果是 xx 的幾次多項式？
(A) 五次
(B) 四次
(C) 三次
(D) 二次

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先記清楚規則

    甲是四次、乙是三次、丙是二次。多項式相乘時，次數是「相加」；相加減時，次數取「兩者中較高的那一個」，除非最高次項剛好被消掉。
  2. 2

    先算乙乘丙

    乙與丙相乘，次數是 3+2=53+2=5。而且最高次項的係數等於「乙的三次項係數乘上丙的二次項係數」，兩者都不為零，乘起來也不為零，所以乙乘丙確定是五次多項式。
  3. 3

    再減去甲

    五次多項式減去甲，而甲最高只到四次，沒有 x5x^5 項可以拿來抵消，所以相減後 x5x^5 的係數保持不變、仍不為零。
  4. 4

    下結論

    結果的最高次項仍是 x5x^5，所以是五次多項式。舉例驗證：取乙 =x3=x^3、丙 =x2=x^2、甲 =x4=x^4，則乙乘丙再減甲等於 x5−x4x^5-x^4，確實是五次。故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#多項式 #次數 #乘除混合運算

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常見卡點
次數的規則要分清楚：乘法是「次數相加」，加減法是「取較高的次數」。有人把乘法也當成「取較高次數」，算出乙乘丙是三次，再與四次的甲相減取較高，就答成四次（(B)）；也有人把次數當成普通數字去算 3×2−4=23\times2-4=2，得到二次。這兩個結果都剛好落在選項裡，所以特別危險。正確的判準永遠是「展開後最高次項的係數會不會變成零」——這題的 x5x^5 只有一個來源，沒有任何東西能抵消它。

還是卡住嗎？

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