112學年鷺江國中第3次段考數學 第25題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先想清楚場數怎麼數

   設共有 $n$ 支隊伍。每一隊都要和其他 $n-1$ 隊各打一場，這樣數會得到 $n(n-1)$，但是「甲對乙」和「乙對甲」其實是同一場，被兩隊各數了一次。所以真正的場數是 $\dfrac{n(n-1)}{2}$。
2. 2

   列出方程式

   預賽共 $55$ 場，所以 $\dfrac{n(n-1)}{2}=55$。兩邊同乘 $2$ 得 $n(n-1)=110$，展開整理成 $n^2-n-110=0$。
3. 3

   因式分解求 n

   要找兩數相乘 $-110$、相加 $-1$：$(-11)\times10=-110$ 且 $-11+10=-1$，所以 $(n-11)(n+10)=0$，得 $n=11$ 或 $n=-10$。
4. 4

   取捨、驗算並提醒

   隊伍數必須是正整數，$n=-10$ 不合理要捨去，所以 $n=11$。驗算：$\dfrac{11\times10}{2}=55$ 場，正確。常見的錯是忘了除以 $2$，列成 $n(n-1)=55$，那要解 $n^2-n-55=0$，判別式 $1+4\times55=221$ 不是完全平方數，隊伍數根本解不出整數，這時就該回頭檢查有沒有重複計算。這一格的答案是 $11$ 支隊伍，這題全對才給分。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用 #握手問題

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