112學年鷺江國中第3次段考數學 第24題 詳解

答案$56$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   把兩根和與積找出來

   設兩個解是 $p$ 和 $q$，那麼 $x^2-15x+k$ 可以寫成 $(x-p)(x-q)$。把右邊展開：$(x-p)(x-q)=x^2-(p+q)x+pq$。比較一次項係數得 $p+q=15$，比較常數項得 $pq=k$。
2. 2

   列出所有可能的組合

   題目要一個是質數、一個是合數，而且相加等於 $15$。質數從小的開始試：$p=2$ 則 $q=13$，$13$ 是質數不是合數，不行；$p=3$ 則 $q=12$，合數，可以；$p=5$ 則 $q=10$，合數，可以；$p=7$ 則 $q=8$，合數，可以；$p=11$ 則 $q=4$，合數，可以；$p=13$ 則 $q=2$，$2$ 是質數，不行。
3. 3

   算出各組的 k

   $3$ 與 $12$：$k=3\times12=36$；$5$ 與 $10$：$k=5\times10=50$；$7$ 與 $8$：$k=7\times8=56$；$11$ 與 $4$：$k=11\times4=44$。四個 $k$ 都是整數，符合題目要求。
4. 4

   挑最大並驗算

   四個裡最大的是 $56$。這也合乎「兩數和固定時，兩數越接近乘積越大」的道理，$7$ 和 $8$ 是最接近的一組。驗算：$k=56$ 時 $x^2-15x+56=(x-7)(x-8)=0$，兩根是 $7$（質數）與 $8$（合數），完全符合。
5. 5

   看常見的錯並整理

   第一個錯是把 $1$ 當成合數去配 $14$，但 $1$ 既不是質數也不是合數，而且 $14$ 也不是質數，這組根本不成立。第二個錯是兩根都挑質數，例如 $2$ 與 $13$，那 $k=26$，不符合「另一解為合數」。第三個錯是看成求最小，寫成 $36$。這一格的答案是 $k$ 的最大值 $56$，這題全對才給分。

關鍵觀念：#一元二次方程式的根 #質數與合數

同主題一起複習：多項式與方程式 →