108學年鷺江國中第3次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把式子因式分解

   $3x^2-8x-16$ 用十字交乘：二次項係數 $3=3\times1$，常數 $-16$ 試 $4$ 與 $-4$。取 $(3x+4)(x-4)$，乘開得 $3x^2-12x+4x-16=3x^2-8x-16$，完全吻合。所以 $3x^2-8x-16=(3x+4)(x-4)$。
2. 2

   用質數的定義卡住它

   質數是大於 $1$ 的正整數，而且只有 $1$ 和它自己兩個正因數。現在這個數被寫成兩個整數 $(3x+4)$ 與 $(x-4)$ 的乘積，現在要它是質數，所以得先看這兩個因式各自能是什麼。
3. 3

   哪個因式能等於 $1$

   $x$ 是正整數，所以 $x\geq1$，於是 $3x+4\geq3\times1+4=7$——這個因式一定是大於 $1$ 的正數。既然乘積要是質數（質數是正的），另一個因式 $x-4$ 也非正不可：若 $x-4<0$ 乘積會是負數、若 $x-4=0$ 乘積會是 $0$，都不可能是質數。所以 $x-4$ 是正整數。又若 $x-4>1$，兩個因數就都大於 $1$，乘積是合數不是質數；因此只能 $x-4=1$，解得 $x=5$。
4. 4

   回代並確認是質數

   $x=5$ 時，$3x+4=3\times5+4=19$，$x-4=5-4=1$，乘積為 $19\times1=19$。$19$ 只能被 $1$ 和 $19$ 整除，確實是質數。所以第 ⑩ 格填 $19$。

關鍵觀念：#因式分解 #質數判別

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