108學年鷺江國中第3次段考數學 第15題 詳解

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逐步解析

1. 1

   從根反推係數的策略

   已知 $\dfrac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$ 是 $2x^2+px-3=0$ 的根。與其去比對公式解的形狀，不如把根直接代回方程式，這樣最不會出錯。先設 $x=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2}$。
2. 2

   把根整理成沒有分母

   由 $x=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2}$，兩邊同乘 $2$ 得 $2x=-2+\sqrt{10}$，移項把根號單獨留在一邊：$2x+2=\sqrt{10}$。
3. 3

   兩邊平方消掉根號

   $(2x+2)^2=\left(\sqrt{10}\right)^2$，左邊展開得 $4x^2+8x+4=10$。移項整理：$4x^2+8x-6=0$，兩邊同除以 $2$ 得 $2x^2+4x-3=0$。（若改取另一個根，則 $2x+2=-\sqrt{10}$，平方後結果完全一樣。）
4. 4

   比較係數求出 $p$

   把 $2x^2+4x-3=0$ 和題目的 $2x^2+px-3=0$ 逐項對照：二次項 $2$ 對 $2$、常數項 $-3$ 對 $-3$ 都吻合，一次項則是 $4$ 對 $p$。所以第 ⑪ 格填 $p=4$。
5. 5

   回頭驗算一次

   把 $p=4$ 代回 $2x^2+4x-3=0$，用公式解：$D=4^2-4\times2\times(-3)=16+24=40$，$$x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{4}=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$$ 和題目給的根一模一樣，所以 $p=4$ 無誤。

關鍵觀念：#公式解 #比較係數