112學年鷺江國中第1次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   整除就是餘式為 0

   「$4x^2-2x+k$ 能被 $x+1$ 整除」的意思是：用 $x+1$ 去除 $4x^2-2x+k$ 時，餘式等於 $0$。所以先用長除法把餘式算出來，再讓它等於 $0$。
2. 2

   長除法第一步

   用被除式的最高次項除以除式的最高次項：$4x^2\div x=4x$，這是商式的第一項。再乘回去：$4x\times(x+1)=4x^2+4x$。相減：$\left(4x^2-2x+k\right)-\left(4x^2+4x\right)=-6x+k$。
3. 3

   長除法第二步

   繼續用 $-6x\div x=-6$，這是商式的第二項。乘回去：$-6\times(x+1)=-6x-6$。相減：$(-6x+k)-(-6x-6)=k+6$。這是零次的式子，次數已經比除式低，除法結束，餘式就是 $k+6$。
4. 4

   令餘式等於 0

   整除表示餘式為 $0$，所以 $k+6=0$，解得 $k=-6$。
5. 5

   代回去驗算

   把 $k=-6$ 代回，被除式是 $4x^2-2x-6$，商式是 $4x-6$。驗算 $(x+1)(4x-6)=4x^2-6x+4x-6=4x^2-2x-6$，和被除式完全相同，確實整除。所以 $k=-6$。

關鍵觀念：#多項式整除 #待定係數

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