114分科測驗數學甲 第7題 詳解

極值・導函數 · 多選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   抓題眼：極值對應導數符號

   已知 $f(x)$ 在 $x=1,2,4$ 處有極小值，在 $x=3,5$ 處有極大值。因為是多項式，所以 $f'(x)$ 也是連續函數。
   
   由極值點的導數判別可知：
   - 在極小值點前後，$f'(x)$ 會由負變正。
   - 在極大值點前後，$f'(x)$ 會由正變負。
   
   因此依序可整理出導數符號必有變化：
   - 1 左右：負 $\to$ 正
   - 3 左右：正 $\to$ 負
   - 4 左右：負 $\to$ 正
   - 5 左右：正 $\to$ 負
   
   這題核心就是：把極值資訊轉成 $f'(x)$ 在各區間的正負，再逐項判斷。
2. 2

   判斷 (2)：在 $1$ 與 $2$ 之間找正負變號

   題目說在 $x=1$ 是極小值，所以在 $1$ 的右側不遠處，$f'(x)>0$。
   又在 $x=2$ 是極小值，所以在 $2$ 的左側不遠處，$f'(x)<0$。
   
   因為 $f'(x)$ 連續，且在區間 $(1,2)$ 內會從正值過渡到負值，所以由介值定理可知，存在 $1<a<b<2$ 使得
   
   $f'(a)>0,\quad f'(b)<0$.
   
   所以 (2) 正確。
3. 3

   判斷 (4)：在 $5$ 右邊一定是正斜率

   已知 $x=5$ 是極大值，表示在 $5$ 的左側導數為正，右側導數為負。
   但題目還有一個重要條件：$f(x)$ 的最高次項係數為正，而且次數大於 $5$。
   
   多項式次數為奇數時，最高次項係數為正，則當 $x\to +\infty$ 時，$f(x)\to +\infty$，因此在足夠大的 $x$，函數值會一路往上。對應到導數的尾端行為，因為前面最後一個極值點是 $x=5$ 的極大值，之後函數必須往上走，才可能通往 $+\infty$。
   
   所以存在某個 $c>5$ 使得 $f'(c)>0$。
   
   故 (4) 正確。
4. 4

   判斷 (5)：次數不只五次，還至少七次

   我們已知極小值有三個：$x=1,2,4$；極大值有兩個：$x=3,5$。
   這表示 $f'(x)$ 至少要有這五個點作為導數變號的分界。
   
   更精確地說，極小與極大交錯出現，代表 $f'(x)$ 至少有五個相異實根：
   $1,2,3,4,5$。
   
   而 $f'(x)$ 的次數會比 $f(x)$ 少一，因此若 $f'(x)$ 至少有五個相異實根，則 $f'(x)$ 的次數至少為 $5$，所以 $f(x)$ 的次數至少為 $6$。
   
   但還要注意：題目說 $f(x)$ 的次數大於 $5$，又因為最高次項係數為正，且極值點共有五個，導數在每個極值點都必須變號，這會迫使 $f'(x)$ 至少有五個相異實根；再配合導數次數與多項式形狀，可知 $f(x)$ 的次數不可能只是 $6$，而必須再高一些。
   
   因此可判定 $f(x)$ 的次數大於 $7$，所以 (5) 正確。
5. 5

   逐項收尾：把錯的挑掉

   接著檢查其餘選項。
   
   (1) $f(1)<f(3)$：
   $1$ 與 $3$ 分別是極小與極大，但無法只靠極值型態判斷函數值大小。極大值不一定比前一個極小值都大，所以 (1) 不一定成立，錯。
   
   (3) $f''(3)>0$：
   $x=3$ 是極大值點，若二階導數存在且可用二階導數判別，應是 $f''(3)<0$；但只知道是極大值，並不能保證 $f''(3)$ 一定存在，更不可能推出 $f''(3)>0$。故 (3) 錯。
   
   因此正確選項為 $(2)(4)(5)$。

關鍵觀念：#導數 #極值判別 #介值定理 #多項式