114分科測驗數學甲 第7題 詳解

答案(2)(4)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   考點與切入

   本題考多項式函數的極值結構（選修數甲：微分應用），最有效率的切入是畫出 $f'(x)$ 的正負號數線。兩個關鍵觀察：其一，$f(x)$ 是可微的多項式，在 $x=1$、$x=2$ 兩個相鄰的極小值點之間，圖形必先升後降，中間一定藏著一個題目沒列出的極大值點 $m$，$1<m<2$；其二，最右邊的極大值點 $x=5$ 之後，因最高次項係數為正，$x$ 夠大時 $f(x)$ 終將一路上升，故 $5$ 的右邊必再出現一個極小值點 $c_0>5$。
2. 2

   導數符號數線

   極小值點處 $f'$ 由負轉正、極大值點處由正轉負。把 $1$（小）、$m$（大）、$2$（小）、$3$（大）、$4$（小）、$5$（大）、$c_0$（小）由左到右排好，$f'$ 的符號依序為：$(-\infty,1)$ 負、$(1,m)$ 正、$(m,2)$ 負、$(2,3)$ 正、$(3,4)$ 負、$(4,5)$ 正、$(5,c_0)$ 負、$(c_0,\infty)$ 正——$f'$ 至少在這 $7$ 個相異點變號（若另有極值點，變號次數只會更多）。
3. 3

   判析前三項

   (1) 錯：$f(1)$ 只保證比 $x=1$ 附近的點小，$f(3)$ 只保證比 $x=3$ 附近的點大，兩處相隔甚遠、無從比較；把 $x=1$ 那一帶的圖形整體墊高，就能造出 $f(1)>f(3)$ 的例子，故不必然成立。(2) 對：$x=1$ 是極小值點，其右側附近 $f'>0$，取這樣的 $a$；$x=2$ 是極小值點，其左側附近 $f'<0$，取這樣的 $b$；$a$ 貼近 $1$、$b$ 貼近 $2$，自然滿足 $1<a<b<2$ 且 $f'(a)>0$、$f'(b)<0$。(3) 錯：$x=3$ 是極大值點，必有 $f''(3)\le 0$；$f''(3)>0$ 是極小值的二階判別條件，方向恰好相反。
4. 4

   判析後兩項

   (4) 對：設 $f$ 的次數為 $n\ge 6$、最高次項係數 $A>0$，則 $f'$ 的最高次項係數 $nA>0$，故 $x\to\infty$ 時 $f'(x)\to\infty$，取夠大的 $c>5$ 即有 $f'(c)>0$（在 $c_0$ 右邊 $f'$ 恆正）。(5) 對：由符號數線，$f'$ 至少在 $1,m,2,3,4,5,c_0$ 這 $7$ 個相異實數處變號，故 $f'$ 至少有 $7$ 個相異實根，$\deg f'\ge 7$，因此 $\deg f\ge 8>7$。
5. 5

   結論

   綜合以上：(1) 不必然成立、(3) 不可能成立，而 (2)、(4)、(5) 必然成立。答案選 (2)(4)(5)。

關鍵觀念：#導數 #極值判別 #介值定理 #多項式

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