114分科測驗數學甲 第6題 詳解

答案(1)(3)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   切入與估值

   本題考指數函數的圖形性質、數值估算與「$\log(1.2^x)$ 究竟是什麼」的辨析。先做全題的核心估算——用連續平方最省力：$1.2^2=1.44$，$1.2^4=1.44^2=2.0736$，$1.2^8=2.0736^2\approx4.30$，故 $1.2^{10}=1.2^8\times1.2^2\approx4.30\times1.44\approx6.19$。這個數字會同時用在 (2) 和 (3)。
2. 2

   判(1)(2)

   (1) $f(0)=1.2^0=1>0$，正確；事實上指數函數 $1.2^x>0$ 對所有實數 $x$ 都成立。(2) $f(10)=1.2^{10}\approx6.19<10$，錯誤——憑「指數成長很快」的直覺就圈 (2) 的人，忽略了底數 $1.2$ 很接近 $1$，前期成長極慢。
3. 3

   判(3)勘根

   (3) 設 $g(x)=1.2^x-x$，$g$ 為連續函數。$g(1)=1.2-1=0.2>0$，$g(10)\approx6.19-10=-3.81<0$，由勘根定理（中間值定理），存在 $x_0\in(1,10)$ 使 $g(x_0)=0$，即 $1.2^{x_0}=x_0$，兩圖形相交，正確。
4. 4

   判(4)辨析

   (4) 是全題最兇的誘答：$y=\log(1.2^x)=x\log1.2$ 化簡後是一條過原點、斜率 $\log1.2\approx0.079$ 的直線，不是曲線。而 $y=1.2^x$ 對直線 $y=x$ 鏡射得到的是它的反函數 $y=\log_{1.2}x$——把 $\log(1.2^x)$ 誤看成 $\log_{1.2}x$ 才會以為 (4) 對。一條指數曲線和一條過原點的直線顯然不對稱於 $y=x$，錯誤。
5. 5

   判(5)反例

   (5) 用 (3) 的結果造反例：存在 $x_0$ 使 $1.2^{x_0}=x_0$（且 $x_0>1>0$）。對此式兩邊取以 $1.2$ 為底的對數得 $x_0=\log_{1.2}x_0$。於是取 $b=x_0$：$\log_{1.2}b=x_0$ 且 $1.2^b=1.2^{x_0}=x_0$，兩邊相等！幾何意義：$y=1.2^x$ 與 $y=\log_{1.2}x$ 互為反函數、圖形對稱於 $y=x$，而 $y=1.2^x$ 與 $y=x$ 有交點，交點也落在 $y=\log_{1.2}x$ 上，三線共點。故「對任意正實數 $b$ 皆不等」錯誤。
6. 6

   確定答案

   正確的敘述為 (1) 與 (3)。答案選 (1)(3)。

關鍵觀念：#指數函數 #介值定理 #反例

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