114分科測驗數學甲 第6題 詳解

指數函數・選項判析 · 多選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先看基本值

   先算 $f(0)$：因為 $f(x)=1.2^x$，所以 $f(0)=1.2^0=1$，因此 $f(0)>0$，選項（１）正確。
2. 2

   比較十次方大小

   再看 $f(10)$：$1.2^{10}\approx 6.19$，明顯小於 $10$，所以 $f(10)>10$ 不成立，選項（２）錯誤。
3. 3

   找與 $y=x$ 的交點

   設 $g(x)=1.2^x-x$。則 $g(1)=1.2-1=0.2>0$，而 $g(2)=1.44-2<0$。因為 $g$ 連續，依介值定理可知在 $1$ 到 $2$ 之間有某個 $x$ 使 $g(x)=0$，也就是 $1.2^x=x$，所以圖形與直線 $y=x$ 相交，選項（３）正確。
4. 4

   辨認不是對稱圖形

   看選項（４）：$\log(1.2^x)=x\log 1.2$，這是一條過原點的直線；它不是 $y=\log_{1.2}x$ 的反函數圖形。真正與 $y=x$ 對稱的是函數與其反函數，不是這兩條圖形，所以（４）錯誤。
5. 5

   用交點造反例

   由（３）知存在 $x_0$ 使 $1.2^{x_0}=x_0$。對這個等式兩邊取 $\log_{1.2}$，得 $x_0=\log_{1.2}x_0$。因此 $\log_{1.2}x_0=x_0=1.2^{x_0}$，也就是取 $b=x_0$ 時，$\log_{1.2}b=1.2^b$ 成立。這就直接推翻了「對任意正實數 $b$，皆不相等」的說法，所以（５）錯誤。

關鍵觀念：#指數函數 #介值定理 #反例