114分科測驗數學甲 第5題 詳解

數列・週期判斷 · 多選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先把通項化簡

   由 $a_n=\cos\left(n\pi-\frac{\pi}{6}\right)$，利用公式 $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$，得
   $$a_n=\cos(n\pi)\cos\frac{\pi}{6}+\sin(n\pi)\sin\frac{\pi}{6}.$$
   因為 $\cos(n\pi)=(-1)^n$、$\sin(n\pi)=0$，所以
   $$a_n=(-1)^n\cdot \frac{\sqrt3}{2}.$$
   因此這個數列其實只會在 $\frac{\sqrt3}{2}$ 和 $-\frac{\sqrt3}{2}$ 之間交替。
2. 2

   逐一判斷前四個選項

   (1) $a_1=(-1)^1\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}$，不是 $-\frac12$，所以錯。
   
   (2) $a_2=(-1)^2\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$，$a_3=(-1)^3\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}$，兩者不相等，所以錯。
   
   (3) $a_4=(-1)^4\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$，而 $24$ 是偶數，所以 $a_{24}=(-1)^{24}\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$，因此 $a_4=a_{24}$，對。
   
   (4) 此數列偶數項與奇數項分別為 $\frac{\sqrt3}{2}$ 與 $-\frac{\sqrt3}{2}$，一直跳動不會收斂，所以此項錯。
3. 3

   看第五項的冪次級數

   先求一般項的 $n$ 次方：
   $$(a_n)^n=\left[(-1)^n\frac{\sqrt3}{2}\right]^n.$$
   因為 $(-1)^{n^2}=(-1)^n$，所以
   $$(a_n)^n=(-1)^{n^2}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^n.$$
   又因為 $(-1)^{n^2}=(-1)^n$，可寫成
   $$(a_n)^n=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^n.$$
   所以這是一個首項為 $-\frac{\sqrt3}{2}$、公比也為 $-\frac{\sqrt3}{2}$ 的等比級數。
4. 4

   計算無窮級數總和並作結

   由等比級數和公式 $\sum_{n=1}^{\infty}r^n=\dfrac{r}{1-r}$（當 $|r|<1$），取 $r=-\dfrac{\sqrt3}{2}$，則
   $$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n)^n =\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^n =\frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{1+\frac{\sqrt3}{2}} =-\frac{\sqrt3}{2+\sqrt3}.$$
   有理化得
   $$-\frac{\sqrt3}{2+\sqrt3}\cdot\frac{2-\sqrt3}{2-\sqrt3} =-(2\sqrt3-3)=3-2\sqrt3.$$
   所以第 (5) 項正確。
   
   因此正確選項為 $(3)(5)$。

關鍵觀念：#三角函數 #數列 #級數 #極限