114分科測驗數學甲 第5題 詳解

答案(3)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先化簡通項

   本題考三角恆等式化簡與無窮等比級數。分科的高效切入：別逐項硬算，先用差角公式把通項一次化乾淨。$a_n=\cos\left(n\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos n\pi\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin n\pi\sin\dfrac{\pi}{6}$，而 $\sin n\pi=0$、$\cos n\pi=(-1)^n$，故 $a_n=(-1)^n\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。整個數列就是 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dots$ 正負交錯。
2. 2

   判(1)(2)(3)

   (1) $a_1=(-1)^1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ne-\dfrac{1}{2}$，錯誤（把 $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 記成 $\dfrac{1}{2}$ 才會中招）。(2) $a_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$a_3=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，不相等，錯誤。(3) $4$ 與 $24$ 同為偶數，$a_4=a_{24}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，正確。
3. 3

   判(4)收斂性

   (4) 數列在 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 與 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 之間永遠跳動，奇數項子列與偶數項子列極限不同（$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ne\dfrac{\sqrt{3}}{2}$），故 $\langle a_n\rangle$ 發散。「為收斂數列」這個前提就不成立，錯誤——別被後半句「極限 $<1$」騙走注意力。
4. 4

   判(5)級數

   (5) 關鍵一步：$(a_n)^n=\left((-1)^n\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=(-1)^{n^2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$，而 $n^2$ 與 $n$ 奇偶相同，故 $(-1)^{n^2}=(-1)^n$，即 $(a_n)^n=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$。這是首項與公比皆為 $r=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 的無窮等比級數，$|r|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1$ 收斂，和為 $\dfrac{r}{1-r}=\dfrac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{-\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=-2\sqrt{3}+3=3-2\sqrt{3}$，正確。數值檢核：$3-2\sqrt{3}\approx-0.46$，與 $\dfrac{-0.866}{1.866}\approx-0.46$ 吻合。
5. 5

   確定答案

   正確的敘述為 (3) 與 (5)。答案選 (3)(5)。

關鍵觀念：#三角函數 #數列 #級數 #極限

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