114分科測驗數學甲 第4題 詳解

答案(3)(4)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   翻譯條件

   本題考二次曲線的「$x$ 值範圍」，先把幾何條件翻譯成代數：曲線與每一條鉛直線 $x=c$ 都相交 $\Leftrightarrow$ 對任意實數 $c$，曲線上都存在 $x$ 坐標等於 $c$ 的點 $\Leftrightarrow$ 曲線在 $x$ 方向的範圍是全體實數。所以逐一檢查各曲線 $x$ 能取到哪些值即可，完全不必畫精確圖。
2. 2

   判析(1)(2)

   (1) 橢圓 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$：因 $\dfrac{y^2}{4}\ge0$，得 $\dfrac{x^2}{9}\le1$，即 $-3\le x\le3$；鉛直線 $x=4$ 與它不相交，錯誤。(2) 雙曲線 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1$（左右開口）：移項得 $\dfrac{x^2}{9}=1+\dfrac{y^2}{4}\ge1$，即 $x\le-3$ 或 $x\ge3$；鉛直線 $x=0$（$y$ 軸）與它不相交，錯誤。
3. 3

   判析(3)

   (3) 雙曲線 $-\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$（上下開口，貫軸為 $y$ 軸）：移項得 $\dfrac{y^2}{4}=1+\dfrac{x^2}{9}$，對任意實數 $x$ 都解得 $y=\pm2\sqrt{1+\dfrac{x^2}{9}}$，故每條鉛直線 $x=c$ 都與它交於兩點，正確。
4. 4

   判析(4)(5)

   (4) 拋物線 $y=\dfrac{4}{9}x^2$：$y$ 是 $x$ 的函數，任一鉛直線 $x=c$ 恰交於一點 $\left(c,\dfrac{4}{9}c^2\right)$，正確。(5) 拋物線 $x=\dfrac{4}{9}y^2$：開口向右，$x=\dfrac{4}{9}y^2\ge0$，鉛直線 $x=-1$ 與它不相交，錯誤。
5. 5

   確定答案

   與所有鉛直線都相交的是上下開口的雙曲線與開口向上的拋物線。答案選 (3)(4)。

關鍵觀念：#二次曲線 #截距 #函數圖形

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