114分科測驗數學甲 第4題 詳解

二次曲線・垂直線 · 多選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先抓題意：什麼叫「都相交」

   題目要找的是：對每一條鉛直線 $x=a$，這條直線都要和圖形有交點。也就是把 $x$ 固定成任意實數時，方程式都要有實數解；換句話說，圖形對所有 $x$ 都有對應的 $y$。
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   逐一看橢圓和雙曲線

   (1) $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$：若 $x^2>9$，則 $\dfrac{y^2}{4}=1-\dfrac{x^2}{9}<0$，無實數解，所以不是每條鉛直線都相交。
   
   (2) $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1$：整理得 $\dfrac{y^2}{4}=\dfrac{x^2}{9}-1$，當 $|x|<3$ 時右邊小於 $0$，無實數解，所以也不是。
3. 3

   判斷第(3)個：能不能每個 $x$ 都有解

   (3) $-\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$，整理成 $\dfrac{y^2}{4}=1+\dfrac{x^2}{9}$，所以 $y^2=4\left(1+\dfrac{x^2}{9}\right)\ge 4$。
   因此對任意實數 $x$，都能得到實數 $y=\pm 2\sqrt{1+\dfrac{x^2}{9}}$，所以每一條鉛直線 $x=a$ 都會相交。
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   判斷第(4)、(5)個：誰是函數，誰不是

   (4) $y=\dfrac{4}{9}x^2$：這是以 $x$ 為自變數的函數。對每個實數 $x$，都能得到唯一的 $y$，所以每條鉛直線 $x=a$ 都會和它相交一次。
   
   (5) $x=\dfrac{4}{9}y^2$：改寫成 $y^2=\dfrac{9}{4}x$，只有當 $x\ge 0$ 才有實數解。若 $x<0$，沒有交點，所以不是。
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   收束到官方答案

   綜合判斷：
   (1) 否，(2) 否，(3) 是，(4) 是，(5) 否。
   因此符合「與所有鉛直線都相交」的選項為 $(3)(4)$。

關鍵觀念：#二次曲線 #截距 #函數圖形