114分科測驗數學甲 第3題 詳解

答案(3) 20看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   定出八點

   本題考「$C(8,2)$ 扣除共線重複」的計數技巧，勝負在能不能把 8 個點的坐標全部具體寫出來、再有系統地清點共線組。$\Gamma_1:x^2+y^2=4$ 與兩軸交於 $(2,0)$、$(-2,0)$、$(0,2)$、$(0,-2)$；$\Gamma_2:x^2+y^2=2$ 與 $y=x$ 交於 $(1,1)$、$(-1,-1)$（代入 $2x^2=2$）；與 $y=-x$ 交於 $(1,-1)$、$(-1,1)$。八點齊了。
2. 2

   先算上限

   若 8 點中任三點都不共線，兩點決定一線，共可決定 $C(8,2)=\dfrac{8\times7}{2}=28$ 條直線。這是上限，接下來要清查共線造成的重複。
3. 3

   清查共線

   利用圖形對 $x$ 軸、$y$ 軸與 $y=\pm x$ 的對稱性逐條檢查，恰有 4 組三點共線：$x+y=2$ 過 $(2,0)$、$(1,1)$、$(0,2)$；$x-y=2$ 過 $(2,0)$、$(1,-1)$、$(0,-2)$；$x+y=-2$ 過 $(-2,0)$、$(-1,-1)$、$(0,-2)$；$y-x=2$ 過 $(-2,0)$、$(-1,1)$、$(0,2)$。再確認沒漏：$x$ 軸、$y$ 軸上各只有 2 個點（原點不在八點中），$y=\pm x$ 上各只有 2 個點，$x=\pm1$、$y=\pm1$ 上也各只有 2 個點，且上述 4 條線各自都沒有第 4 個點。
4. 4

   扣除重複

   每組三點共線，原本 $C(3,2)=3$ 對點各算一條，實際只有 1 條，每組要扣 $3-1=2$ 條。四組共扣 $4\times2=8$ 條：$28-8=20$。最誘答的選項 (4) 的 $24$ 就是每組只扣 1 條（$28-4$）的產物——共線扣的是「多算的條數」，一組三點多算了 2 條，不是 1 條。
5. 5

   確定答案

   這 8 個點共可決定 $28-8=20$ 條不同的直線。答案選 (3)。

關鍵觀念：#組合計數 #共線點 #重複扣除

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