114分科測驗數學甲 第3題 詳解

共線扣重・配對計數 · 單選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   整理八點

   先把八個點寫出來：$(\pm 2,0)$、$(0,\pm 2)$、$(1,1)$、$(-1,-1)$、$(1,-1)$、$(-1,1)$。
2. 2

   先算總配對

   任取兩點可決定一條直線，所以先共有 $\binom{8}{2}=28$ 組配對。若沒有重複，答案本來就是二十八條。
3. 3

   找三點共線

   重複只會出現在三點共線。這八點中，恰有四條線各含三點：$x+y=2$ 過 $(2,0),(0,2),(1,1)$；$x+y=-2$ 過 $(-2,0),(0,-2),(-1,-1)$；$x-y=2$ 過 $(2,0),(0,-2),(1,-1)$；$x-y=-2$ 過 $(-2,0),(0,2),(-1,1)$。
4. 4

   扣掉重複

   每一條三點直線會被算成 $\binom{3}{2}=3$ 組配對，但其實都只是同一條線，所以每條要扣掉 $3-1=2$ 條重複。四條共要扣 $4\times 2=8$。
5. 5

   得出答案

   因此不同直線總數是 $28-8=20$，選 $(3)$。另外，座標軸上各只有兩點，$y=\pm x$ 上也各只有兩點，不會再有其他三點共線。

關鍵觀念：#組合計數 #共線點 #重複扣除