排列組合

國中・高中 · 歷屆 104 題 · 跨 69 份考卷

排列組合怎麼分類才不會重複或漏算？
這裡整理了108學年鷺江國中第2次段考、109學年新莊國中第1次段考、109學年鷺江國中第1次段考、109學年鷺江國中第2次段考、109會考、110學年新莊國中第1次段考、110學年鷺江國中第1次段考、110學年新莊國中第2次段考、110學年鷺江國中第2次段考、111學年新莊國中第1次段考、111學年鷺江國中第1次段考、111學年鷺江國中第2次段考、111學年新莊國中第2次段考、111學年新莊國中第3次段考、111學年鷺江國中第3次段考、111分科測驗、111會考、111學測、112學年新莊國中第1次段考、112學年鷺江國中第1次段考、112學年新莊國中第2次段考、112學年鷺江國中第2次段考、112學年新莊國中第3次段考、112分科測驗、112會考、112學測、113學年新莊國中第1次段考、113學年鷺江國中第1次段考、113學年福和國中第1學期第2次段考、113學年新莊國中第3次段考、113學年鷺江國中第3次段考、113學年新莊國中第2次段考、113學年鷺江國中第2學期第2次段考、113學年鷺江國中第2次段考、113分科測驗、113學測、114學年新莊國中第1次段考、114學年鷺江國中第1次段考、114學年鷺江國中第2次段考、114學年新莊國中第3次段考、114分科測驗、114會考、114學測、115學測共 104 題排列組合考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

組合×11 排列組合×9 降冪排列×8 機率×8 應用問題×7 等差數列×6 分類計數×5 因數×4 乘法原理×4 絕對值×4 圖形規律×4 大小排列×3 分數比較×3 升冪排列×3 因數排列×3 多項式×3 多項式乘法×3 次數×3 計數×3 計數原理×3 限制條件×3 線性組合×3 三視圖×2 正方形×2 立體圖形×2 多項式加減×2 多項式運算×2 空間推理×2 乘法公式×2 帶分數×2 排列×2 條件計數×2 組合計數×2 數列規律×2 銳角×2 整數計數×2 0 的正負歸類 一元一次方程式 一元二次方程式 二元一次方程式 二元一次方程式的正整數解 二元一次聯立方程式 二次函數 十字交乘法 三角形內心 三角形面積 大小比較 不放回抽樣 不相鄰排列 不等式求最小值 不等式範圍 中位數 互質 內積 公比性質 公式解 分組分派 分點公式 分類分步 升冪降冪排列 方格排列 代入求值 凸包 加法原理 古典機率 四分位距 四邊形分類 外心 外積 平方根 平行四邊形 平行四邊形性質 平均數 平移 正方形性質 正方形面積 正因數 正因數排列 正多邊形內角 正整數計數 仿射坐標 全距 共用下車區 共線點 同號數與異號數 向量表示 向量運算 向量線性組合 因式分解 多項式化簡 多項式加法 多項式次數 多項式係數 多項式除以單項式 多項式除法 多項式減法 多邊形組合 字串計數 扣除法 行列式 位置限制 位置選擇 坐標判別 角 角平分線 角度 角度計算 角度關係 奇偶分類 直角 直角三角形判別 直線 指數運算 相似形 相似形判別 相鄰捆綁法 相鄰間隙 科學記號 負數比較 負數次方 重複元素 重複扣除 重複計數 重複組合 倍數計數 根式大小比較 矩陣乘法 除法餘式 區塊排列 商高定理 條件機率 畢氏定理 畢氏定理逆定理 組合圖形 規律 規律排列 連比 最多最少 最短距離 最簡分數 幾何組合圖形 幾何規律 循環排列 期望值 等比數列 等差級數 等差數列應用 統計量 鈍角 集合計數 圓周角 圓周長 圓面積 塗色面積 路徑計數 圖形計數 圖形排列 圖形疊合 對角線垂直 對稱性 對數函數 遞迴關係 數的大小排列 數線 範圍判斷 質因數 質數 餘事件 整數點計數 機率比較 機率乘法原理 獨立事件 隨機變數 應用題列式 縮放比例 總寬度 聯立方程式 聯立求解

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 因數排列求指定位置因數108學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
   最常見的錯是沒想到因數成對，只憑「$18$ 的前一個是 $e$」硬猜 $N$。也有人把 $N$ 猜成 $18$ 的倍數例如 $54$，但 $54$ 的因數是 $1$、$2$、$3$、$6$、$9$、$18$、$27$、$54$ 只有 $8$ 個，位置對不上。先用「第二小配第二大」定出 $N=36$ 再列因數最穩。
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2. 判斷不能構成直角三角形的邊長組合108學年鷺江國中第2次段考數學 第9題
   (丁) 最容易看漏括號外那個平方：邊長是 $\dfrac9{121}$、$\dfrac{16}{121}$、$\dfrac{25}{121}$，不是 $\dfrac3{11}$、$\dfrac4{11}$、$\dfrac5{11}$。漏看平方就會用 $9+16=25$ 判它成立，反而回頭去懷疑長相最奇怪的 (乙)；但 $(\sqrt2)^2+(\sqrt3)^2=2+3=5=(\sqrt5)^2$ 是貨真價實的直角三角形。檢查前先把每個邊長真正的值算出來，再套逆定理。
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3. 多項式加減乘除運算109學年新莊國中第1次段考數學 第11題
   (1) 最常見的是括號前的減號只改了第一項：寫成 $-2-4x^2-5x$，會得 $2x^2-3x-5$。(3) 直式除法時被除式缺 $x$ 項要補 $0x$，否則同次項對不齊；最後一步 $-7-(-4)$ 是 $-3$，不是 $-11$。(1)(2) 答案記得照降冪排列。
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4. 判斷不一定相似的圖形組合109學年鷺江國中第1次段考數學 第1題
   很多人會猶豫要不要選 (C)，覺得等腰直角三角形也有大有小。但三角形只要三個角對應相等就一定相似，而等腰直角三角形的三個角早就被鎖死，怎麼畫都逃不掉。真正的分水嶺在於「角度有沒有被定義鎖住」：正多邊形的角度和邊長比都被邊數鎖死，菱形卻只鎖住四邊等長、角度可以任意開合，所以兩個菱形可能一胖一瘦。
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5. 影印機縮放三角形求邊長組合109學年鷺江國中第1次段考數學 第8題
   最容易錯的是倍率用反。題目是把 $18$、$15$、$x$ 縮放成 $12$、$y$、$3$，所以由前推後要乘 $\dfrac{2}{3}$；但 $x$ 在「前」那一組、$3$ 在「後」那一組，求 $x$ 時必須反過來乘 $\dfrac{3}{2}$。如果把 $x$ 也算成 $3\times\dfrac{2}{3}=2$，最後會得到 $14$，這個值不在選項裡。另外算完別忘了題目問的是 $2x+y$，不是 $x+y$。
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6. 四圓排列求絲帶長度（如圖）109學年鷺江國中第2次段考數學 第29題
   最常見的錯是自己把四個角補成直角、當成一個邊長 $4\times4=16$ 的正方形去算周長 $64$；但絲帶在四個角落是順著罐頭彎過去的，走的是圓弧不是直角。另一個坑是把弧的部分算成四個完整圓周 $4\times8\pi=32\pi$，其實每個角只貢獻四分之一圓。
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7. 桌椅排列規律等差數列應用109學年鷺江國中第1次段考數學 第18題
   用 $a_n=a_1+(n-1)d$ 時把 $(n-1)$ 誤寫成 $n$ 是最常見的錯：$6+4n=78$ 會解出 $n=18$，整整少算一張圖。另一個錯是忽略兩端那 $2$ 張椅子，以為每張桌子固定配 $4$ 張，列成 $4n=78$，解出來是小數，而張數不可能是小數，一看就知道漏了東西。
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8. 地磚排列規律求三角形地磚數109學年鷺江國中第1次段考數學 第21題
   最常見的失誤是只數上下兩排，算出 $51\times2=102$ 就交卷，漏掉步道最左端與最右端那兩個尖端朝內的三角形。更早一步的錯是把頂點數成 $50$ 個：$50$ 個正方形排成一列，相接的頂點要連同最左與最右兩個端點一起算，共 $51$ 個。先畫出只有一、兩個正方形的小圖實際數一次，這兩個坑都會立刻現形。
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9. 正三角形正方形・最短距離109會考數學 第20題
   「動點到定點的最短距離」幾乎都是「垂直距離」，關鍵是先求出 $\overline{CA}$ 與 $\overline{CF}$ 的夾角：$C$ 點上正三角形的 $60^\circ$ 與正方形的 $90^\circ$ 排在同一直線上，剩下 $30^\circ$。之後用 $30^\circ$ 直角三角形「短股是斜邊一半」得到 $4$。常見錯誤是算成另一股 $4\sqrt{3}$ 而誤選 (C)，或把正三角形的高 $5\sqrt{3}$ 當答案。求完記得確認垂足落在線段 $\overline{CA}$ 內，這題 $\overline{CH}=4\sqrt{3}<10$，沒問題。
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10. 正方形與圓形組合圖形的塗色面積110學年新莊國中第1次段考數學 第20題
    圓的部分最容易把直徑當半徑，直接拿 $12$ 和 $8$ 去算成 $12^2\pi-8^2\pi=80\pi$，比正確的 $20\pi$ 大了四倍；半徑要先除以 $2$，是 $6$ 和 $4$。正方形那一塊則容易寫成 $(20-18)^2=4$，但 $20^2-18^2$ 是兩個面積相減，不等於邊長差的平方，要老實算 $400-324=76$。
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11. 異號數判斷計數110學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    把 $0$ 也算進去就會數成 $5$ 個而誤選 (C)。$0$ 既不是正數也不是負數，它和任何數都談不上同號或異號，所以不能算。另外別被數字大小晃到：判斷正負只看前面有沒有負號，$-4.8$ 雖然小、$-3001$ 雖然大，兩個都是負數。把負數一個一個圈起來，圈完再數一次比較保險。
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12. 多項式係數與次數判斷110學年鷺江國中第1次段考數學 第4題
    係數要連同前面的正負號一起看，負號屬於係數，所以 x 平方項的係數是 -3。有人會以為「沒有 x 項」就是「沒有係數」而誤選 (D)，其實缺項就代表係數是 0，(D) 的敘述是正確的。
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13. 由因數排列求正整數與其中一個因數之和110學年新莊國中第2次段考數學 第3題
    常見錯誤是只算出 $N=42$ 就急著選 (B)，忘了題目要的是 $N+d$；或把 $d$ 當成答案選 (A)。記得正因數會首尾配對、相乘等於 $N$，先由第二小與第二大求出 $N$，再列出全部因數找 $d$，最後相加。
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14. 帶分數大小排列110學年鷺江國中第2次段考數學 第25題
    最常見的錯是忘了負號，把不看負號時的大小直接搬過來，排成負一又十二分之五最小。負數正好相反，離 0 愈遠的愈小。另一個錯是比分數部分時看到十二分之五的分子、分母都比較大，就以為它比較大；要先通分，三分之二等於十二分之八，才看出它比十二分之五大。
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15. 蛋糕購買組合數與較便宜方案應用問題110學年新莊國中第1次段考數學 第23題
    最常見的錯是忽略「兩種都買」，把 $x=5$、$y=0$ 或 $x=0$、$y=10$ 也算進去，答成 5 種或 6 種。列舉時要先寫清楚 $x$、$y$ 的範圍是正整數。第 (2) 小題也別只比單盒價錢，要比買 30 個的總價。
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16. 獎項組合聯立方程式應用110學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    最容易誤選的是 (A) 的 $12-x$。它確實算得出東西，但算出來的是參獎的份數：總共 $12$ 支原子筆，扣掉壹獎和貳獎用掉的 $x$ 支，剩下的才是只給一支筆的參獎。解這種題要先問「哪一種文具只有哪幾種獎會用到」，筆記本只有壹獎用，立刻就得到 $p=y$。
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17. 區間內3的倍數個數110學年鷺江國中第1次段考數學 第2題
    最常錯在數項數時忘了加一：直接算 $66-7=59$ 就選 (B)。從 $7$ 數到 $66$，頭尾兩個都要算進去，所以是 $66-7+1$。也要注意負數的大小：$-18$ 比 $-20$ 大，不在範圍內，第一個倍數是 $-21$；從 $-18$ 開始數會得到 $66-6+1=61$ 而誤選 (D)。
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18. 棋子排列三角形規律應用110學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
    最常見的錯是以為第 $25$ 個圖形就有 $25$ 列，算成 $1+2+\cdots+25=325$，但圖1其實已經有 $3$ 列，列數比圖形編號多 $2$。$325$ 不在選項裡，看到算不出選項時，要回頭用圖1、圖2驗證自己的規律，確認代 $n=1$ 時真的是 $3$ 列。
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19. 等比數列子項組合判斷110學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    最常見的錯是以為「跳著取」的項就不是等比數列，其實每次跳的間隔相同，比值就固定，只是公比變成 $3^2$、$3^3$。算 (D) 時也容易亂乘指數：每個因數都往後移 $3$ 項，各多乘 $3^3$，三個因數合起來是 $3^9$，要一個一個對應相除。
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20. 二次函數疊合求係數組合110學年鷺江國中第1次段考數學 第5題
    常見錯誤是以為 $b$、$c$ 也要和原式一樣，或者看到 (B) 的 $b=3$ 與原式的 $3$ 相同就選它，卻忽略 $a=-2$ 使開口向下，翻轉後無法靠平移疊合。記住平移只改頂點，能否疊合只看 $a$ 是否完全相同，連正負號都要一樣。
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21. 帶分數範圍內的整數個數判斷111學年鷺江國中第1次段考數學 第5題
    端點附近最容易翻車。看到 $-4\frac{3}{4}$ 就順手往外挑 $-5$，是把「比它大」錯記成「比它更負」；負數區的大小方向跟絕對值方向相反，一定要畫一條數線把 $-5$、$-4.75$、$-4$ 三個位置點出來再判斷。另一個坑是數整數個數時漏掉 $+1$，尤其範圍跨過 $0$ 的時候，$0$ 本身也是一個整數，別把它當成空位跳過去。
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22. 帶分數與絕對值大小排列111學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
    兩個地方最容易出事。第一是丙的絕對值沒拆，直接把它當成 $-3.5$ 丟到最後面，於是乙和丙的位置全亂。第二是比負數時只看數字，覺得 $-3.75$ 的 $3.75$ 比 $2.8$ 大就把乙往前排；負數越往左越小，$-3.75$ 其實是四個數裡最小的。最穩的作法是全部化成小數後畫一條數線標上去，位置擺好再由右往左抄答案，不必在腦中硬比。
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23. 多項式化簡並按升冪排列111學年鷺江國中第1次段考數學 第13題
    兩個關卡。一是減號括號：$-(2x+3x^2)$ 要把兩項都變成負的，只變前面一項是最常見的錯。二是「升冪」與「降冪」搞反——升冪是次數由小排到大、常數項打頭；降冪是次數由大排到小。填充題答案算對卻排反方向，一樣拿不到分。寫完養成習慣代一個好算的數字（例如 $x=1$）回原式驗算，兩邊相等才收工。
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24. 已知多項式和求原式並降冪排列111學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
    「和為某式」要求的是相減，不是相加。最常見的錯是把兩個多項式直接加起來當成 $A$，得到 $-6x^3+8x^2-2x+8$，方向整個反掉。第二個坑是拆減號括號時只變第一項的號。最保險的做法是算完立刻把答案加回原多項式，看看是不是真的得到 $x^2+x-1$；另外別忘了題目要求降冪排列，次數要由大排到小。
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25. 分數與根式四數大小排列111學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
    最容易搞錯的是 $B$。看到 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 的分母有根號，很多人直覺覺得它「比較小」而把它排到後面，但 $\sqrt{5}\approx 2.24$ 比 $5$ 小得多，分母越小值越大，$B$ 其實是四個數裡最大的。第二個坑是把 $C=\frac{\sqrt{2}}{5}$ 與 $D=\sqrt{\frac{2}{5}}$ 看成同一個數：根號只罩住分子，和根號蓋住整個分數，結果差了 $\sqrt{5}$ 倍。統一成同分母再比分子，最不容易出錯。
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26. 四邊形對角線垂直性質計數111學年鷺江國中第3次段考數學 第12題
    等腰梯形最常被誤加進來，但它保證的是「兩條對角線等長」，不是垂直。長方形也很容易被混進去，它的對角線互相平分又等長，卻一般不垂直，兩個性質要分清楚。
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27. 平行四邊形與正方形組合求角度111學年鷺江國中第3次段考數學 第19題
    漏掉 $\angle AEF=15°$ 這一塊，只拿正方形的直角去拆平角，就會得到 $\angle CED=180°-90°=90°$，再算出 $\angle D=180°-90°-35°=55°$ 這個錯的值。$E$ 處排著三個角，一個都不能少。
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28. 分卷發放・限制條件計數111分科測驗數學甲 第10題
    最常漏的是「每天至少發一張」：直接算 $1\cdot3\cdot4\cdot4\cdot4=192$ 會多算週二或週四空掉的排法。用排容時要注意扣完再加回「兩天同時空」的情形；分情形時要確認三種情形互斥且涵蓋所有可能。算完換一條路（總數減去不合的）驗算最保險。
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29. 不放回抽球機率111會考數學 第9題
    兩個常見錯誤：一是分母用 $6$（想成 $6$ 種號碼），但機率要用「剩下的球數 $7$」當分母，因為是對每顆球等機率抽；二是分子算成 $4$，以為 $1$、$2$、$3$、$5$ 四種號碼各剩一顆，忘了 $2$ 號兩顆都被小茹抽走了，這樣會誤選 (D)。先把剩下的 $7$ 顆球一顆一顆列出來再數，就不會漏。
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30. 組合數・重複選取111學測數學A 第1題
    最常見的錯誤是只算不同口味 $C^{15}_2=105$ 就選 (2)，忘了「可為同一口味」要再加 15 種同口味的情形；另一個坑是把 $n$ 誤取為 14，因為 $14\times 13=182$ 除以 2 是 91，並沒有超過 100。先把最少桶數確定，再判斷題目問的是「可重複」還是「不可重複」。
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31. 向量線性組合・面積比111學測數學A 第9題
    最容易錯在 (5)：看到 $b-0.05<b$ 就以為面積一定變小，忽略了係數可能變成負數，$R$ 跑到 $\overline{AB}$ 另一側時距離要取絕對值。另一個坑是 (1)，檢查完 $Q$ 在內部就急著打勾，忘了 $R$ 也要看。做這類題先記住「係數的絕對值乘 $S$ 就是面積」，逐項套用即可。
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32. 基地台選址・不相鄰計數111學測數學B 第3題
    最容易錯的是扣除「含 3 號」的情形時，只排除了 $3$ 號本身，忘了 $2$ 號和 $4$ 號也因相鄰而不能選，於是多算了幾種，算出的值不在選項裡。另一個常見錯誤是直接算 $C^{7}_{3}=35$，完全忽略不相鄰的限制。碰到「不相鄰」的選取，插空隙法 $C^{n-k+1}_{k}$ 是標準工具，但加上額外限制時，用分類直接數一次來驗算最保險。
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33. 球色組合・餘事件機率111學測數學B 第16題
    最常見的錯誤是忘了黃球也可能同色，只扣掉皆藍與皆綠，得到 $1-\dfrac{13}{45}=\dfrac{32}{45}$。另一個錯誤是解 $C^{b}_{2}=3$ 時把它看成 $b=3$ 太快而沒驗證，或解 $C^{g}_{2}=10$ 時算成 $g=4$（$C^{4}_{2}=6$ 不對）。求出球數後，用「直接數相異色配對」再算一次是最好的驗算方法。
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34. 排列組合・限制排列111學測數學B 第17題
    最常見的錯誤有兩個：一是把第 $3$ 位和第 $5$ 位當成相鄰，多扣了一組位置對，得到 $648-240=408$；二是扣相鄰時用「總數 $720$」去扣，忘了先套上男生不全同側的條件，或反過來擔心兩個條件重疊而多扣一次。本題兩個限制其實互斥（那對相鄰時男生不可能全同側），所以直接相減即可；動手前先確認兩個限制是否有交集，是這類題目最重要的一步。
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35. 科學記號數值大小排列112學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
    最常見的錯誤是只看前面那個數字：看到 $5<7.6<9.2$ 就排成 $C>B>A$，完全忽略 $A$ 的 $10$ 多乘了一次。科學記號的大小主要由 $10$ 的次方決定，次方差 $1$ 就差 $10$ 倍，$A$ 是五億、$C$ 才九千二百萬，根本不是同一個等級。把步驟固定成「先比次方，次方相同才比前面的數」，並在不放心時還原成整數對一次，就不會排錯。
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36. 多項式加減與除法降冪整理（兩小題）112學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
    兩小題都栽在「減號要分配給括號裡的每一項」。第一小題若把 $-(3x^2-5)$ 寫成 $-3x^2-5$，最後會得到 $-8x-3$，常數項就錯了。第二小題常見的是除法只除第一項，把 $(4x^2+6x)\div2x$ 寫成 $2x+6x$；也有人除完忘了加括號，寫成 $3x+3-2x+3$ 而得到 $x+6$。除完先把結果打上括號再減，最保險。
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37. 正因數排列推質因數判斷112學年鷺江國中第2次段考數學 第5題
    很多人看到 $a$、$b$ 是英文字母就覺得「不知道是多少，所以不能確定」，於是把 $2$ 或 $3$ 當成可能不是質因數的答案。其實因數表是由小到大排好的，位子有限，$2$、$3$ 一定要擠進 $1$ 和 $6$ 中間，這就把它們鎖死了。另外要記得因數表最後一個一定是 $N$ 本身，用「共 $8$ 個因數」這個條件才推得出 $N=42$。
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38. 負分數次方大小排列112學年鷺江國中第2次段考數學 第10題
    兩個觀念要一起用：先看正負號，再比絕對值。很多人直覺認為次方越高越大，就把 $C$ 排在最前面，但底數的絕對值小於 $1$ 時剛好相反，次方越高越接近 $0$。另外 $B$ 是負數，即使它的絕對值 $\dfrac{8}{27}$ 比 $C$ 的 $\dfrac{16}{81}$ 大，只要是負數就一定比正數小，不要只比絕對值。
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39. 空間向量・三階行列式112分科測驗數學甲 第6題
    最常錯在 (2)(3)：以為「$t\ne0$」或「另有不平行的 $\vec{w'}$」能保證 $\vec u,\vec v$ 不平行，其實 $\vec u=\vec v=(1,0,0)$、$\vec w=(0,0,1)$ 一組反例就同時推翻兩者。先寫出 $\det A=t(ad-bc)$，每個選項都問：前提擋得住 $\vec u\parallel\vec v$ 嗎？
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40. 抽牌排四位數・條件計數112分科測驗數學甲 第11題
    最大的陷阱是把兩張 8 當成不同的牌來排：那樣數的是抽法，含兩個 8 的數會被重複算兩次，答案會多出 336。另一個常見錯誤是千位為 6 時忘了百位不能再是 6，或漏掉「64xx 必定大於 6400」。先按「含幾個 8」分成互斥兩類再數，最後用排容原理交叉驗證。
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41. 獨立事件機率112會考數學 第12題
    「兩件事都發生」的機率要相乘，不是把喜歡的款式數和總款式數分別相加。$\dfrac{2+1}{6+5}$ 相當於把 $11$ 款放在同一個箱子抽一次，和題目各買一盒的情境不同。也可以列出所有組合：$6\times5=30$ 種，其中喜歡的 $2\times1=2$ 種，機率 $\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$。
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42. 排列組合・遞增遞減排列112學測數學A 第4題
    這題的關鍵是看出第五位同時屬於前段與後段，它必須是全體最大的九。沒注意到這點的人會從九個數字挑五個放前段，得到九取五。另一個常見錯誤是把「遞增排列」當成一般排列去乘階乘，其實一旦選好數字，遞增或遞減的順序只有一種，所以只要算組合數，不必再排列。
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43. 條件機率・號碼球112學測數學B 第5題
    最常見的錯誤是憑直覺選 (3)，以為「$7$ 的倍數」和抽到 $7$ 最相關；但條件機率的大小取決於條件裡總共有幾顆球，$7$ 的倍數有 $14$ 顆、小於 $10$ 的只有 $9$ 顆。解題步驟是：先確認 $7$ 號球滿足每個條件，再把每個條件的球數數清楚，球數最少的條件機率最大。數質數時別漏掉 $2$，也別把 $1$ 算進去，$100$ 以內質數是 $25$ 個。
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44. 等差數列計數112學測數學B 第14題
    最常見的錯誤是直接算 $C^{20}_{3}$ 或忘記 $a$、$c$ 要同奇偶而多算。另一個常見失誤是用公差分類時把公差算到 $d=10$（$a=1,c=21$ 超出範圍）或漏掉某個公差。記住核心：等差三數由頭尾決定，頭尾同奇偶就恰有一種，所以答案就是「奇數選二加偶數選二」。有多餘時間就用第二種方法驗算，兩者都得 $90$ 才安心。
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45. 遞迴數列・字串計數112學測數學B 第17題
    最常見的錯誤是去數「含有 $00$ 的序列有幾條」，那是另一個問題；題目算的是「出現次數總和」，像 $000$ 要算 $2$ 次。按位置對來數就自然處理了重複計算。另一個易錯點是其餘格子的填法：長度 $5$ 固定兩格為 $0$ 後剩 $3$ 格，是 $3^3=27$ 而不是 $3^2$ 或 $2^3$。用 $a(3)=6$ 檢驗公式，再用遞迴法驗算一次最穩。
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46. 數的大小排列與範圍內求和113學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
    兩個地方最容易失分。第一是沒有先化簡就直接排大小，把 $-\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ 當成負數丟到最左邊，或把 $|-6|$ 當成 $-6$，排出來的順序整個錯位。第二是挑範圍時把 $-5$ 也算進去，因為 $-5$ 比 $-1$ 小卻長得像「負的小數」。建議先把化簡後的五個數通通標在同一條數線上，再把 $-1$ 與 $3$ 兩個界線畫出來，夾在中間的就是答案。
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47. 小於根號值的正整數個數是非判斷113學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
    $14$ 這個數字，是把根號直接忽略、當成「小於 $15$ 的正整數有 $1$ 到 $14$ 共 $14$ 個」才會跑出來的；題目問的是小於 $\sqrt{15}$，而 $\sqrt{15}$ 只有 $3.87$ 左右。另一個易錯是算完 $3<\sqrt{15}<4$ 之後把 $4$ 也算進去而答 $4$ 個，但 $4^2=16>15$，$4$ 比 $\sqrt{15}$ 大。這類題先把根號夾在兩個整數之間，再看邊界要不要算進去。
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48. 連比與線性組合求值113學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
    最常見的錯是只算「份數」就交卷：$4+3-2=5$，直接勾了 (B)。$5$ 只是 $x+y-z$ 佔幾份，每一份還有 $40$，真正的值是 $5\times 40=200$。選項裡同時出現 $200$ 和 $5$、$9$ 這種份數，就是在提醒你有沒有把份數換算回數值。另外題目是 $x+y-z$，$z$ 前面是減號，別順手三個全部相加。
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49. 因式分解求係數組合〔3-2〕113學年福和國中第1學期第2次段考數學 第12題
    最常見的錯是忘了題目的形式是 $(3x-a)$，中間已經自帶減號：分解出 $(3x-2)(11x+7)$ 後把 $-2$ 整個抄成 $a$，算成 $-2+11-7=2$ 就選到 (A)。正確是 $-a=-2$，故 $a=2$。另一個坑是把 $a+b-c$ 看成 $a+b+c$，算出 $2+11+7=20$，那會落到 (C)。
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50. 公式解求兩根組合值113學年鷺江國中第3次段考數學 第11題
    這題有兩個獨立的坑。第一個是題目寫成 $-4\times11$：那是常數項 $-44$，不是暗示兩根是 $4$ 和 $11$。第二個是分解後讀根的符號：$(x-11)(x+4)=0$ 的根是 $11$ 和 $-4$，括號裡是 $+4$ 時根要取 $-4$，符號必須相反，直接抄數字就會算出 $19$。最後別忘了題目指定 $a>b$，順序弄反算出來的是 $18$，連選項都不在，等於白算。
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51. 平面上多點決定直線數量113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第12題
    最少的情況最常被想歪。有人以為「最少」也要兩兩相連再扣掉重複，結果還是算成 $28$；其實只要八點共線，全部的連線就只剩 $1$ 條。另一個坑是算 $m$ 時把 $8\times 7$ 寫成 $8\times 8$：用 $\dfrac{8\times 8}{2}=32$ 再減 $1$ 會得到 $31$，剛好落在 (D)。還有人把「最多」誤以為像多邊形一樣只連相鄰的點而得到 $8$ 條，$8-1=7$ 就選到 (A)。
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52. 直角射線夾出銳角個數計數113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第37題
    只數「相鄰兩條射線夾出的四個小角」就寫 $4$ 的人會選 (A)；再加上「由兩個小角合成的三個角」得到 $4+3=7$ 的人會選 (C)。其實由三個小角合成的角還有 $2$ 個、由四個小角合成的還有 $1$ 個，全部是 $4+3+2+1=10$ 個，再扣掉那個直角才是答案。數角時用「每兩條射線配一次」最不會漏，也別忘了最外面的 $\angle BAC$ 是直角，不能算進銳角。
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53. 立體圖形上視圖與右視圖判斷組合113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第39題
    上視圖的方向是最大的坑：很多人把九宮格「最上面那一列」當成最前排，整個前後顛倒，就會挑到左右相反的圖。上視圖是從天花板往下看，靠近自己的下方那一列才是前排。右視圖同理：從右邊看過去時離觀察者近的是裝置的前面，所以右視圖靠左那一行代表前排。最後記得視圖只顯示「有沒有」、不顯示「幾顆」，高度要靠右視圖的層數去讀。
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54. 正六邊形與正方形組合求角度113學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
    要同時用到兩件事才解得開：一是 $\angle BCH=\angle BCD-\angle HCD=120°-90°=30°$，二是正方形的邊 $\overline{CD}$ 就是正六邊形的邊，所以 $\overline{CH}=\overline{CB}$，$\triangle BCH$ 是等腰三角形。最常見的失誤是算出頂角 $30°$ 之後忘了再求底角，直接把 $180°-30°=150°$ 寫上去；也有人把頂角和底角搞混，以為 $\angle CHB$ 就是 $30°$。看到正多邊形拼正方形，第一個念頭要是邊長相等。
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55. 方格對角線圖數三角形與正方形113學年鷺江國中第2次段考數學 第20題
    這種題一定要「分類數」，亂數必漏。圖裡的三角形全是等腰直角三角形，按直角邊由小到大分成六類分別數完再相加（$36+36+24+16+8+4$），最容易整批漏掉的是「兩格併成、斜邊長 $2$」的那 $24$ 個，以及「以大正方形整條邊為斜邊」的那 $8$ 個。數正方形時最常漏的是斜放的：只數正放的會寫成 $9+4+1=14$，還要再補上 $12$ 個小斜正方形和 $5$ 個大斜正方形。
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56. 三角形內心到頂點距離大小排列113學年鷺江國中第3次段考數學 第14題
    最常見的錯是算出 $\angle C>\angle A>\angle B$ 之後，直覺認為「角大的頂點離 $I$ 比較遠」，寫成 $\overline{CI}>\overline{AI}>\overline{BI}$。其實剛好相反：在小三角形裡比的是半角的「對邊」，角大的那個頂點對面的線段才長，所以 $\angle B$ 最小反而 $\overline{BI}$ 最長。要一組一組放進 $\triangle ABI$、$\triangle ACI$ 裡兩兩比較，不能把三邊的順序直接搬過來用。
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57. 多個平行四邊形組合求角度113學年鷺江國中第3次段考數學 第15題
    整題的樞紐是「$C$ 點周圍三個角合起來是 $360°$」，所以圖雖然畫得像長方體，還是要當成平面圖處理。最常見的錯是把 $76°$、$74°$ 直接拿去扣，算成 $360°-76°-74°=210°$，忘了要先用鄰角互補把它們換成 $C$ 點上的 $104°$ 與 $106°$。另外算出 $\angle BCD$ 後別忘了題目問的是 $\angle BAD$，幸好平行四邊形對角相等，兩者同值。
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58. 排列組合・分類計數113分科測驗數學甲 第3題
    分類時最容易漏掉「第一列完全不放」這一類——題目只說每列至多一個，四個城堡大可全部擠在第二至五列。漏掉這 120 種只會得到 192，五個選項裡根本沒有這個數。動筆前先問一句「第一列要不要放」，把兩類都列出來再開始算。
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59. 中位數・配對法113學測數學A 第5題
    分組時忘了「中位數兩側各恰 12 個」的硬限制：把 25、26 固定後就對剩下 48 個數自由平分，寫成 $C^{48}_{24}$。正確做法是 1 到 24 與 27 到 50 兩段「各自」恰選 12 個進甲組，兩段都不能多也不能少。
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60. 向量分點・線性組合113學測數學B 第15題
    最常見的錯誤是方向弄反：$\overrightarrow{RQ_2}$ 與 $\overrightarrow{Q_2R}$ 差一個負號，漏掉就會寫成 $3\overrightarrow{P_1Q_1}+6\overrightarrow{P_2Q_2}$。另一個錯誤是把係數寫成 4 與 7，忘了 $\overrightarrow{Q_1R}$ 是整段減掉前面一小段，應為 3 與 6。抓住「經過公共點 $R$ 轉接」，最後代簡單坐標驗算。
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61. 圓周等分・等差角三角形113學測數學B 第17題
    最常見的錯誤是用邊長去想，其實三角形內角是圓周角，只跟所對的弧有關；換成弧段數後題目變成「三段弧成等差」，中間項一定是 4。第二個陷阱是重複計算：正三角形三條邊都是差 4 的弦，用弦來數會算 3 次，要扣 $4\times2=8$。也別漏掉 $\{4,4,4\}$，等差允許公差為 0。
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62. 數的大小排列（含絕對值）114學年鷺江國中第1次段考數學 第13題
    最常算錯的一步是第一步：把 $|-3|$ 誤當成 $-3$，於是排出來多一個負數、少一個正數，整串順序全歪。第二個容易錯的是負數比大小，看到 $-4$ 的「$4$ 比 $3$ 大」就寫 $-4>-3$，其實剛好相反。把五個數都點到數線上，由右往左抄一遍，就是由大到小的答案。最後記得用題目原本的寫法作答。
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63. 絕對值小於某數的整數個數114學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
    這題最常見的失誤是漏掉 $0$，只算 $10+10=20$；$0$ 也是整數而且 $|0|=0<10.6$，一定要算進去。第二個失誤是把 $10.6$ 直接當成 $10$ 就急著下結論，卻忘了檢查 $11$ 到底能不能算——這裡 $11>10.6$ 所以不行。遇到絕對值不等式，先把它翻成 $-10.6<n<10.6$ 這種左右兩邊的範圍，再分「負、零、正」三段數，就不會漏。
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64. 多項式運算與化簡（降冪排列）114學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
    三格各有一個固定的坑。第一格最常把減號只分配給 $x^2$，寫成 $9x^2-6x+1-x^2-6$，結果錯成 $8x^2-6x-5$。第二格常把 $-3x\times(-3)$ 算成 $-9x$，$x$ 項就錯成 $-24x$。第三格則是只把第一項除以 $2x$、第二項照抄，寫出 $3x+4x$ 這種怪式子。除法要每一項都除，減號也要每一項都分配。
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65. 由因數排列推正整數114學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
    算錯多半發生在第二步：看到 $6$ 和 $14$ 就直接相乘，把 $N$ 寫成 $6\times14=84$。$84$ 確實是 $6$ 和 $14$ 的公倍數，卻不是最小的，代回去因數會多出 $4$、$12$、$28$，總共十二個，和題目列的八個對不起來。求這種「由因數反推原數」的題目，一定要用最小公倍數起手，再把因數整個列一次核對個數與位置，兩邊都吻合才算做完。
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66. 小於30與42互質的數共有幾個114學年鷺江國中第2次段考數學 第15題
    三個最常見的誤算點都在最後兩步。一是把 $1$ 排除掉，以為 $1$ 不算互質，結果少一個變成 $8$。二是只刪了 $2$ 和 $3$ 的倍數，忘了 $42$ 還有質因數 $7$，把 $7$ 留下就變成 $10$ 個。三是看到 $25$ 是合數就順手刪掉，或誤以為 $5$ 的倍數也要刪，同樣會少算成 $8$。判準只有一條：這個數和 $42$ 有沒有共同的質因數。
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67. 路線圖求經過指定點的機率114學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
    最容易誤選 (C) 的 $\frac{1}{6}$：把兩個岔路口的 3 條與 3 條「相加」成 6 條當作總走法數，再用 $\frac{1}{6}$ 作答。岔路口是「先選一次、再選一次」，前後要相乘不是相加，總數是 $3\times 3=9$。另外要看清楚題目問的是「經過 $B$ 而且經過 $E$」，不是「經過 $B$ 或經過 $E$」，兩個條件必須同時成立。遇到分岔路題，把路線一條一條列出來數，是最不容易出錯的做法。
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68. 共線扣重・配對計數114分科測驗數學甲 第3題
    扣重複那一步最容易失手：一組三點共線是把 $C(3,2)=3$ 條併成 $1$ 條，該扣 $2$ 條，不是扣 $1$ 條——扣錯就得 $24$ 誤選 (4)。另一個常見失誤是清查共線時只憑印象，漏掉 $x+y=2$ 這類斜線；務必把八點坐標寫在紙上，按「過任兩點的直線是否含第三點」有系統地檢查。
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69. 排列寬度・相加114會考數學 第9題
    全班最容易在「下車區有幾個」翻車：20 個停車位排成一列、頭尾都是停車位，間隔只有 $20-1=19$ 個，順手寫成 20 個就會算出 7000 誤選 (B)。另一個小坑是拿長度 600 來算——總「寬」只跟 200 和 150 有關。動筆前先畫個「位、區、位、區、位」的小示意，個數馬上清楚。
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70. 聯立總價・求組合114會考數學 第14題
    全班最容易錯在「設完 $x$ 之後忘記扣」：早餐組合每一組都同時用掉一杯咖啡和一個三明治，單賣數量必須寫成 $120 - x$ 和 $100 - x$。很多人列式時仍用整數 $120$ 和 $100$ 去乘，方程式當然解不出合理的答案。設完未知數，先把「單賣咖啡 $= 120 - x$ 杯、單賣三明治 $= 100 - x$ 個」這兩行寫在旁邊再列式。
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71. 分組排列・區塊法114學測數學A 第3題
    命門在「之後」的邏輯連接詞：「排在鋼琴之後『或』小提琴之後」只要滿足其一，等價於「歌唱不排第一塊」，用反面扣最保險（$6-2=4$）；逐字直譯成「兩者之後都要」就會只剩 2 種塊序而誤選 (2)。
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72. 格點・對數面積114學測數學A 第4題
    邊界點的取捨是全班最容易錯的一步：$x=2,4,8,16$ 時 $\log_2 x$ 恰為整數，$(2,1)$、$(4,2)$、$(8,3)$、$(16,4)$ 都躺在曲線上，一律不能算。動筆時把每列條件寫成嚴格不等式 $x>2^y$、$1\le y$、$x\le 30$ 再數，就不會多算成 91 或整批浮報。
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73. 矩陣運算・線性組合求值114學測數學B 第2題
    最容易犯的錯是直接把乘積矩陣的第一行 $(4,-2,3)$ 當成 $A\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$，忽略右邊乘的是 $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$；這題兩者的和恰好都是 $5$，純屬巧合。正確做法是把「$A$ 乘一個行向量」看成 $A$ 的行向量的線性組合：$A\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\vec{u}-\vec{v}$，再用第二行給的 $\vec{v}$ 反推 $\vec{u}$。
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74. 向量線性組合・凸區域判別114學測數學B 第9題
    最常見的錯誤是只檢查「解得出來」而忘了檢查 $0\le\alpha\le1$、$0\le\beta\le1$，因而把 (5) 也選進去；只要 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 不平行，任何 $\overrightarrow{OP}$ 都解得出唯一的 $\alpha,\beta$，題目的重點就在範圍限制。幾何上 $P$ 必須落在以 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 為鄰邊的平行四邊形內，(5) 的 $P$ 在 $\overrightarrow{OB}$ 延長線上，超過了 $B$ 點。
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75. 新進員工分組・條件分派計數114學測數學B 第15題
    最常見的錯誤是把兩個部門當成「不分順序的兩堆」而把 $36$ 再除以 $2$ 得 $18$；研發、測試是名稱不同的部門，甲去研發和甲去測試是兩種不同的分配，不能除以 $2$。另一個錯誤是漏掉「至少 $1$ 名工程師」的限制，把 $3$ 名工程師全放同一部門的情形也算進去。分派問題建議先處理限制最緊的角色（翻譯），再處理有多種可能的角色（工程師），最後用助理補滿名額。
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76. 期望值・加權平均115學測數學A 第1題
    兩個得獎情況都要算：很多人算完「都吉」的 $180\times\frac{1}{9}=20$ 就停手，漏掉「都祥」的 $90\times\frac{1}{9}=10$，誤選 (1)。動筆前先把「都吉、都祥、其他」三種情況與機率列成表，再一次加總，就不會漏項。
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77. 組合計數・分類加總115學測數學A 第4題
    「組合數」與「道具種數」是兩回事：全基本的 $20$ 種組合只給 $1$ 種草藥、兩基本一進階的 $C^{6}_{2}\times 10=150$ 種組合只給 $10$ 種食物。直接算 $C^{16}_{3}=560$ 或把 $20$、$150$ 照抄進總數，就會落入 (5) 或其他錯誤選項。每一類都先問「結果由什麼決定」再數。
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78. 數字相鄰・排列組合115學測數學B 第14題
    最常見的錯誤是把 $5$、$6$、$7$ 這一塊的內部排法算成 $3!=6$ 種，得到 $24\times2\times6=288$；但條件是「5、6 相鄰」且「6、7 相鄰」，$6$ 必須夾在中間，只有 $567$、$765$ 兩種。另一種錯誤是把「5、6 相鄰」與「6、7 相鄰」當成兩個獨立的捆綁分開處理，結果重複計算或漏算。碰到多個相鄰條件有共用數字時，先畫出這幾個數字實際能怎麼連成一串，再決定內部排法有幾種。
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歷屆考題與答案