113學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

答案(1) $124$ (2) $31$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先看清楚圖的骨架

   這是 $3\times3$ 共 $9$ 個小正方形、$4\times4$ 個格點的網格，每個小正方形內都畫了兩條對角線。相鄰格子的對角線會接成一整條斜線，所以圖上其實有 $4$ 條橫線、$4$ 條直線，加上往兩個方向的許多條斜線。數這種題一定要分類數，不能東看一個西看一個。
2. 2

   三角形：最小的兩類

   圖中所有三角形都是等腰直角三角形，按直角邊由小到大分類。最小的是小正方形被兩條對角線切出的四小塊，共 $9\times4=36$ 個。其次是半個小正方形（沿一條對角線切一半），每格有 $2$ 條對角線、各切出 $2$ 塊，共 $9\times4=36$ 個。
3. 3

   三角形：中型的兩類

   以格線上長 $2$ 的線段為斜邊、頂點落在正對底邊中點、距底邊 $1$ 格的格點上（例如底邊兩格寬、頂點在正上方的格點）：橫向的有 $12$ 個、直向的有 $12$ 個，共 $24$ 個。再來是半個 $2\times2$ 正方形：這樣的正方形有 $4$ 個，每個被兩條對角線各切成 $2$ 塊，共 $4\times4=16$ 個。
4. 4

   三角形：最大的兩類

   以長 $3$ 的整條格線為斜邊、頂點落在某個小正方形的中心：橫向 $4$ 條格線各 $1$ 個、直向 $4$ 條各 $1$ 個，共 $8$ 個。最後是半個 $3\times3$ 大正方形，兩條大對角線各切出 $2$ 塊，共 $4$ 個。
5. 5

   三角形加總

   $36+36+24+16+8+4=124$，所以最多可數出 $124$ 個三角形。
6. 6

   正方形：正放與斜放

   正放的：$1\times1$ 有 $9$ 個、$2\times2$ 有 $4$ 個、$3\times3$ 有 $1$ 個，共 $14$ 個。斜放的有兩種：第一種以「相鄰兩格的公共邊」為對角線，四個頂點是那條邊的兩個端點加上左右（或上下）兩格的中心，橫向 $6$ 條、直向 $6$ 條共 $12$ 個；第二種邊長等於小正方形的對角線，以 $4$ 個內部格點為中心的各 $1$ 個，再加上整張圖正中央那 $1$ 個，共 $5$ 個。
7. 7

   正方形加總

   $14+12+5=31$，所以最多可數出 $31$ 個正方形。兩個問題的答案分別是：三角形 $124$ 個、正方形 $31$ 個。

關鍵觀念：#圖形計數 #幾何規律

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