113學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

逐步解析

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   先想清楚策略

   尺規沒辦法直接量出 $30°$，但正三角形的每個內角都是 $60°$，而 $30°$ 正好是 $60°$ 的一半。所以策略是兩段：先用尺規作出一個 $60°$ 的角，再作這個角的角平分線。
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   第一段：作出60度角

   畫一條直線，在上面取兩點 $A$、$B$。以 $A$ 為圓心、$\overline{AB}$ 長為半徑畫弧；再以 $B$ 為圓心、同樣的 $\overline{AB}$ 長為半徑畫弧，兩弧交於 $C$ 點。連 $\overline{AC}$、$\overline{BC}$。
3. 3

   說明這個角是60度

   兩次畫弧的半徑都取 $\overline{AB}$，所以 $\overline{AC}=\overline{AB}$、$\overline{BC}=\overline{AB}$，即 $\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CA}$，$\triangle ABC$ 是正三角形。正三角形三個內角相等，每個都是 $\dfrac{180°}{3}=60°$，所以 $\angle CAB=60°$。
4. 4

   第二段：作角平分線

   以 $A$ 為圓心、任取一個比 $\overline{AB}$ 短的長為半徑畫弧，交 $\overline{AB}$ 於 $P$、交 $\overline{AC}$ 於 $Q$。再以 $P$ 為圓心、以大於 $\dfrac12\overline{PQ}$ 的長為半徑畫弧；以 $Q$ 為圓心、用「同一個」半徑畫弧，兩弧在 $\angle CAB$ 內部交於 $R$ 點。作 $\overrightarrow{AR}$。
5. 5

   說明AR真的平分這個角

   $\overline{AP}=\overline{AQ}$（同一個圓的半徑）、$\overline{PR}=\overline{QR}$（同一個半徑）、$\overline{AR}$ 為共用邊，所以 $\triangle APR\cong\triangle AQR$（SSS），對應角相等，$\angle PAR=\angle QAR$，也就是 $\overrightarrow{AR}$ 平分 $\angle CAB$。
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   寫出結論並保留痕跡

   $\angle RAB=\dfrac12\angle CAB=\dfrac12\times60°=30°$，$\angle RAB$ 即為所求的 $30°$ 角。作答時所有的弧都要留在紙上不可以擦掉，這是評分的依據。

關鍵觀念：#尺規作圖 #角平分線

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