113學年鷺江國中第2次段考數學 第22題 詳解

答案(1) AAS (2) $10$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先寫下摺疊給的等量

   沿 $\overline{AC}$ 對摺，$\triangle ACD$ 整片疊到 $\triangle ACE$，兩者全等。所以 $\overline{AE}=\overline{AD}=18$、$\overline{CE}=\overline{CD}=\overline{AB}=6$、$\angle AEC=\angle ADC=90°$。這三條是後面所有推論的根。
2. 2

   第一小題的三個條件

   $\triangle ABP$ 與 $\triangle CEP$ 中：$\angle ABP=90°$ 是長方形在 $B$ 的內角，$\angle CEP=\angle CEA=90°$ 是摺過來的直角（$P$ 在 $\overline{AE}$ 上），所以 $\angle ABP=\angle CEP$；$\angle APB=\angle CPE$ 是對頂角；$\overline{AB}=\overline{CE}=6$。
3. 3

   判斷是哪一種全等

   $\overline{AB}$ 在 $\triangle ABP$ 中是 $\angle APB$ 的對邊，$\overline{CE}$ 在 $\triangle CEP$ 中是 $\angle CPE$ 的對邊，都不是兩個已知角的夾邊。兩組角加上一組對應的非夾邊，所以第 (1) 小題是根據 AAS 全等性質。
4. 4

   設未知數列式

   由 (1) 的全等得 $\overline{AP}=\overline{CP}$（對應邊）。設 $\overline{BP}=x$，因為 $\overline{BC}=\overline{AD}=18$，所以 $\overline{CP}=\overline{BC}-\overline{BP}=18-x$，也就是 $\overline{AP}=18-x$。
5. 5

   用畢氏定理解方程

   $\triangle ABP$ 中 $\angle B=90°$，由畢氏定理 $\overline{AB}^2+\overline{BP}^2=\overline{AP}^2$，即 $6^2+x^2=(18-x)^2$。展開得 $36+x^2=324-36x+x^2$，消去 $x^2$ 後 $36x=288$，所以 $x=8$。
6. 6

   作答與驗算

   $\overline{AP}=18-x=18-8=10$。驗算：$\overline{AB}=6$、$\overline{BP}=8$，$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，確實吻合。所以第 (1) 小題根據 AAS 全等性質，第 (2) 小題 $\overline{AP}=10$。

關鍵觀念：#三角形全等 #摺疊對稱 #畢氏定理

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