113學年鷺江國中第2次段考數學 第23題 詳解

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逐步解析

1. 1

   從頂角開始往下傳

   設 $\angle A=x°$。$\overline{AE}=\overline{DE}$，相等的兩邊交會在 $E$，所以 $\triangle ADE$ 是以 $E$ 為頂角的等腰三角形，底角在 $A$、$D$：$\angle ADE=\angle DAE=x°$。
2. 2

   用外角求角DEC

   $E$ 在 $\overline{AC}$ 上，所以 $\angle DEC$ 是 $\triangle ADE$ 在 $E$ 的外角，等於兩個內對角的和：$\angle DEC=\angle A+\angle ADE=x°+x°=2x°$。
3. 3

   第二個等腰三角形

   $\overline{CE}=\overline{CD}$，相等的兩邊交會在 $C$，所以 $\triangle CDE$ 的底角在 $D$、$E$：$\angle CDE=\angle CED=\angle DEC=2x°$。
4. 4

   第三個等腰三角形

   $\overline{CD}=\overline{CB}$，$\triangle CDB$ 的底角在 $D$、$B$，所以 $\angle CDB=\angle CBD$。又 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上，$\angle CBD$ 就是 $\angle ABC$；由 $\overline{AB}=\overline{AC}$ 得 $\angle ABC=\dfrac{180°-x°}{2}=\left(90-\dfrac{x}{2}\right)°$，故 $\angle CDB=\left(90-\dfrac{x}{2}\right)°$。
5. 5

   在D點列平角方程

   $D$ 在 $\overline{AB}$ 上，所以 $\angle ADE$、$\angle EDC$、$\angle CDB$ 三個角合起來是一個平角：$x+2x+\left(90-\dfrac{x}{2}\right)=180$。整理得 $\dfrac{5x}{2}=90$，所以 $x=36$。
6. 6

   代回去驗算

   $x=36$ 時 $\angle ABC=\angle ACB=72°$，$\angle ADE=36°$、$\angle CDE=72°$、$\angle CDB=72°$，三者相加 $36°+72°+72°=180°$ 確實是平角；且 $\angle ACB=\angle DCE+\angle DCB=36°+36°=72°$ 也對得上。所以 $x=36$。

關鍵觀念：#等腰三角形 #外角 #方程式求解