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113學年鷺江國中第2次段考數學 第16題 詳解

尺規作圖等分線段所需次數 · 填充 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
利用尺規作圖，要畫出 132AB‾\dfrac{1}{32}\overline{AB}，至少需要在 AB‾\overline{AB} 上作幾次中垂線作圖才能完成？

答案55看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    一次中垂線能做什麼

    作一條線段的中垂線，等於把這條線段平分成兩段。所以每作一次中垂線，能取得的長度就變成原來的一半，沒辦法一次做出三等分或五等分。
  2. 2

    一次一次折半

    第 11 次對 AB‾\overline{AB} 作中垂線得 12AB‾\dfrac12\overline{AB}；對其中一半再作一次得 14AB‾\dfrac14\overline{AB}；接著依序是 18AB‾\dfrac18\overline{AB}、116AB‾\dfrac1{16}\overline{AB}、132AB‾\dfrac1{32}\overline{AB}。
  3. 3

    用2的次方算

    作 kk 次之後得到的是 12kAB‾\dfrac{1}{2^k}\overline{AB}。要得到 132AB‾\dfrac1{32}\overline{AB}，因為 32=2532=2^5，所以 k=5k=5，至少需要作 55 次中垂線。
答案
55

關鍵觀念：#尺規作圖 #中垂線 #線段等分

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常見卡點
中垂線一次只能把線段「對半分」，所以每作一次分母就乘以 22：12→14→18→116→132\dfrac12\to\dfrac14\to\dfrac18\to\dfrac1{16}\to\dfrac1{32}，而 32=2532=2^5，所以答案是 55 次。最常見的錯是把「要分成 3232 段」和「要作幾次中垂線」混在一起，寫成 3131 或 3232。另外要記得尺規作圖沒辦法直接三等分一條線段，只有分母是 22 的次方的等分，才能靠反覆作中垂線完成。

還是卡住嗎？

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