109學年鷺江國中第2次段考數學 第29題 詳解

逐步解析

1. 1

   把絲帶拆成直線段和弧

   絲帶沿著四個罐頭的外緣繞一圈，路徑由四段直線和四段圓弧接成：四段直線分別是 $\overline{AB}$、$\overline{CD}$、$\overline{EF}$、$\overline{GH}$，四段圓弧則落在四個角落。
2. 2

   算直線的部分

   以 $\overline{AB}$ 為例，$A$、$B$ 分別是圓 $O_1$、$O_2$ 與同一條切線的切點，$\overline{O_1A}$ 與 $\overline{O_2B}$ 都垂直於這條切線且長度都是 $4$，所以 $ABO_2O_1$ 是矩形，$\overline{AB}=\overline{O_1O_2}$。兩圓外切，$\overline{O_1O_2}=4+4=8$，故 $\overline{AB}=8$。四段直線共 $8\times4=32$。
3. 3

   算圓弧的部分

   每個角落的圓弧都是四分之一圓：以 $O_1$ 為例，弧兩端的半徑各自垂直於相鄰的兩段直線，夾角是 $90^\circ$。四個四分之一圓合起來剛好湊成一個完整的圓，長度為 $2\pi\times4=8\pi$。
4. 4

   相加得答案

   把兩部分相加，絲帶至少需要 $32+8\pi$ 的長度。這已經是最省的繞法，因為直線段貼著兩圓的公切線、弧段貼著罐頭外緣，中間沒有任何多餘的路徑。

關鍵觀念：#圓周長 #應用問題

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