109學年鷺江國中第2次段考數學 第30題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用切線長把 M 定位

   $M$ 同時落在內公切線與外公切線 $\overline{AB}$ 上。從 $M$ 向圓 $O_1$ 作的兩條切線長相等，得 $\overline{MA}=\overline{MP}$；從 $M$ 向圓 $O_2$ 作的兩條切線長相等，得 $\overline{MB}=\overline{MP}$。所以 $\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MP}$，$M$ 是 $\overline{AB}$ 的中點。
2. 2

   推出 MN 等於 AB

   同樣的理由可得 $\overline{NC}=\overline{ND}=\overline{NP}$，$N$ 是 $\overline{CD}$ 的中點。兩條外公切線對稱於連心線 $\overline{O_1O_2}$，所以 $\overline{CD}=\overline{AB}$。於是 $\overline{MN}=\overline{MP}+\overline{PN}=\dfrac{\overline{AB}}{2}+\dfrac{\overline{CD}}{2}=\overline{AB}$。
3. 3

   算外公切線長

   兩圓外切，$\overline{O_1O_2}=9+16=25$。由 $O_1$ 向 $\overline{O_2B}$ 作垂線，垂足為 $H$，因為 $\overline{O_1A}$ 與 $\overline{O_2B}$ 都垂直於 $\overline{AB}$，所以 $ABHO_1$ 是矩形，$\overline{O_1H}=\overline{AB}$，且 $\overline{O_2H}=16-9=7$。在直角三角形 $O_1HO_2$ 中，$\overline{AB}=\overline{O_1H}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$。
4. 4

   相加得答案

   由第二步 $\overline{MN}=\overline{AB}=24$，因此 $\overline{AB}+\overline{MN}=24+24=48$ 公分。

關鍵觀念：#兩圓外切 #公切線 #畢氏定理

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