直線與圓錐曲線

高中・國中 · 歷屆 11 題 · 跨 6 份考卷

直線、圓與圓錐曲線的題目怎麼下手？
這裡整理了113分科測驗、113會考、113學測、114分科測驗、114學測、115學測共 11 題直線與圓錐曲線考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

弦長公式×3 向量×2 截距×2 直線斜率×2 三角形內角和 二次函數極值 二次曲線 共線判斷 函數圖形 向量內積 圓周角 圓心距離判定 圓的方程 圓與直線位置關係 圖形伸縮 平行四邊形 座標幾何 斜率 橢圓 正多邊形 焦點座標 直線方程 直線方程式 直線與圓 等腰三角形 距離公式 距離與圓 長短軸 面積公式 餘弦定理

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 伸縮・焦點113分科測驗數學甲 第2題
   最容易錯在把伸縮後的座標變化，誤當成半軸直接乘上二和三；其實要先改方程式，再代點求參數，最後才算焦點。
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2. 圓弦・斜率113分科測驗數學甲 第10題
   最容易錯在把弦長和座標位移混成一件事，忘了要先用斜率把 $\Delta x,\Delta y$ 拆開，再回到圓方程求半徑。
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3. 圓內外・角度判位113會考數學 第17題
   全班最容易錯在：看到圓心是 $B$、$C$，卻直接亂猜 $A$ 在內外；其實一定要先算出 $\angle A$，再用「大角對大邊」比出 $AB$、$AC$ 跟半徑 $BC$ 的大小，才不會把圓 $B$ 和圓 $C$ 的判斷弄反。
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4. 正六邊形・座標113學測數學A 第10題
   最容易把六邊形的「邊長、中心高、頂點高」混在一起，看到 $2\sqrt{3}$ 就直接猜邊長，沒有先分清楚是中心到邊還是點到 $x$ 軸的距離。
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5. 二次曲線・垂直線114分科測驗數學甲 第4題
   最容易錯在把「都相交」看成「至少有些直線相交」。這題要檢查的是任意 $x$ 都要有實數解；只要出現某些 $x$ 沒交點，就不能選。尤其第(5)題只看見拋物線就誤以為可以，卻忘了它只在 $x\ge 0$ 時才有點。
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6. 平行四邊形・向量面積114分科測驗數學甲 第11題
   最容易錯在把 $Q$ 當成普通點，忘了它是對角線交點、也就是中心；另外常把「垂直」的斜率寫成 $\frac{2}{3}$，少了負號，或是算出半個平行四邊形後忘記乘回完整面積。
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7. 斜率截距・面積114學測數學A 第2題
   最容易錯在把斜率和截距混在一起，或忘了面積要用 $\frac{1}{2}\times$ 底 $\times$ 高。
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8. 圓弦長・距離114學測數學A 第16題
   最容易錯在把「圓心到直線距離」誤當成弦長，或忘了先用 $L_2$ 相切求出 $m$ 和半徑；兩個條件要各司其職。
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9. 外接圓・弦長114學測數學A 第17題
   最容易錯在把「外接圓上的弦長」當成一般三角形邊長直接硬算，忘了先用條件選定點 $D$ 的位置。
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10. 等腰三角・分類討論115學測數學A 第6題
    忘記檢查共線退化
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11. 向量・垂直條件115學測數學A 第14題
    最容易錯在把「與直線垂直」誤看成 $ab=-1$ 或直接套斜率負倒數卻沒先確認向量和直線的關係；這題要先用直線方向向量 $(1,b)$，再做內積為零。
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