直線與圓錐曲線

國中・高中 · 歷屆 268 題 · 跨 88 份考卷

直線、圓與圓錐曲線的題目怎麼下手？
這裡整理了108學年鷺江國中第1次段考、108學年鷺江國中第2次段考、108學年鷺江國中第3次段考、109學年鷺江國中第1次段考、109學年新莊國中第2次段考、109學年鷺江國中第2次段考、109學年鷺江國中第3次段考、110學年新莊國中第2次段考、110學年鷺江國中第2次段考、110學年新莊國中第3次段考、110學年鷺江國中第3次段考、110學年新莊國中第1次段考、110學年鷺江國中第1次段考、110會考、111學年新莊國中第1次段考、111學年新莊國中第2次段考、111學年鷺江國中第2次段考、111學年鷺江國中第3次段考、111學年鷺江國中第1次段考、111分科測驗、111會考、111學測、112學年新莊國中第2次段考、112學年鷺江國中第2次段考、112學年新莊國中第3次段考、112學年鷺江國中第3次段考、112學年新莊國中第1次段考、112學年鷺江國中第1次段考、112學年鷺江國中第2學期第3次段考、112分科測驗、112會考、112學測、113學年新莊國中第1次段考、113學年鷺江國中第1次段考、113學年福和國中第1學期第2次段考、113學年新莊國中第2次段考、113學年鷺江國中第2次段考、113學年新莊國中第3次段考、113學年福和國中第2學期第2次段考、113學年鷺江國中第2學期第2次段考、113學年福和國中第2學期第3次段考、113分科測驗、113會考、113學測、114學年新莊國中第2次段考、114學年鷺江國中第2次段考、114學年鷺江國中第3次段考、114學年新莊國中第1次段考、114學年鷺江國中第1次段考、114分科測驗、114學測、115分科測驗、115會考、115學測共 268 題直線與圓錐曲線考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

直線方程式×46 圓心角×34 二次函數×27 坐標平面×26 切線×24 圓周角×23 切線長定理×19 弦心距×14 圓的切線×13 點到直線距離×13 畢氏定理×12 二元一次方程式×10 弧長×10 應用問題×10 內切圓×9 外心×9 圓×9 拋物線×8 切線長×7 商高定理×7 等腰三角形×7 扇形×6 扇形面積×6 距離公式×6 三角形面積×5 尺規作圖×5 同心圓×5 兩點距離公式×5 弦長×5 直線方程×5 割線×5 象限×5 截距×5 一次函數×4 中垂線×4 公切線×4 代入求值×4 半徑×4 平移×4 坐標幾何×4 角平分線×4 弧長公式×4 直角三角形×4 相似三角形×4 圓外角×4 圓的性質×4 不等式×3 切線性質×3 平行弦×3 生活情境×3 垂直×3 弦長公式×3 直線斜率×3 面積×3 斜率×3 斜率與截距×3 頂點式×3 圓內接四邊形×3 圓周角定理×3 圓面積×3 圖形判別×3 線段長度×3 橢圓×3 二次曲線×2 三角比×2 三線共點×2 切線作圖×2 水平線×2 四邊形面積×2 正多邊形×2 向量×2 坐標×2 兩圓位置關係×2 函數圖形×2 弦×2 弦切角×2 弧×2 弧度數×2 弧與圓心角×2 直線與圓×2 係數符號×2 菱形×2 開口方向×2 圓內角×2 圓心角與圓周角×2 圓形圖×2 圓的切線性質×2 圓與直線位置關係×2 圓錐曲線×2 圖形判讀×2 對稱性×2 數線×2 線段長×2 聯立方程×2 點到直線的距離×2 一次函數圖形 二次函數極值 三角形 三角形內切圓 三角形內心 三角形內角和 三角形外角 三角形周長 三角形重心 三角形邊長比較 三角函數 不等式判斷 中點公式 內心 切割線定理 切線垂直半徑 切線定義 切線弦角 切線長性質 切線段 切線斜率 方格坐標 比例線段 古典機率 外角 外接圓 平行 平行四邊形 平行於坐標軸 平行線斜率 平行線間距 平行線截比例線段 平行y軸 正三角形 正三角形性質 正切定義 正方形面積 立體幾何 交點 交點坐標 全等三角形 全等拋物線 共線判斷 劣弧 向量內積 向量比例 坐標代入求值 坐標平面面積 坐標平面圖形 坐標軸方程式 坐標對稱 求直線方程式 角度計算 角度關係 兩圓外切 兩圓交點 兩圓關係 兩點決定直線 垂直線段 垂直x軸 弦長比較 弦長性質 弦長關係 弦與圓心距離 弧中點 弧的比例 弧的度數 弧長比較 弧與角度 弧與弦關係 拋物線拱橋 拋物線最高點 拋物線路徑 拋物線截面 拋物線應用 直徑 直徑與直角 直線方程式作圖 直線與拋物線交點 空間平面方程式 空間幾何 長條圖 長短軸 相似關係 重心 面積公式 面積比 面積計算 面積等分 展開圖 座標幾何 扇形周長 消失點 特殊角三角比 特殊直角三角形 特殊直角三角形三邊比 斜角與斜率 斜率比較 斜率與截距比較 斜率與截距判斷 旋轉線性變換 梯形面積 通過原點 單位圓 焦點弦 焦點座標 等腰梯形 絕對值 絕對值方程 統計圖判讀 統計圖表 象限判斷 距離 距離與圓 開口大小 圓內接多邊形 圓心 圓心角比例 圓心角與百分率 圓心到切線距離 圓心距離判定 圓方程 圓外一點 圓外切四邊形 圓的方程 圓的半徑 圓的定義 圓的直徑 圓的幾何性質 圓面積比 圓與直線相切 圓與直線關係 圓錐 圓錐截痕 圓環面積 準線 解方程式 鉛直線 圖形 圖形交點 圖形伸縮 圖形判斷 圖形性質 圖形辨識 圖形疊合 圖形讀圖 對角線分割 截痕 截距比較 截線 線段中點 線對稱圖形 複合圖形面積 銳角三角形 餘弦定理 橢圓方程式 橢圓標準式 優弧 應用列式 聯立 聯立方程式 聯立求參數 點到平面距離公式 點與直線位置關係 點與圓的位置關係 雙曲線 雙曲線方程式 x軸截距 y軸截距 y截距

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 數線兩點距離公式判斷108學年鷺江國中第1次段考數學 第3題
   如果每次都乖乖用大的減小的，答案確實會對，於是很多人覺得「相減即可」沒問題。但題目並沒有規定誰減誰，$A(2)$、$B(7)$ 時 $2-7=-5$，距離變成負數就不合理了。距離是長度，永遠不會是負的，所以標準寫法是 $|a-b|$。尤其是題目給的是字母、看不出誰大誰小時，一定要寫上絕對值才保險。
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2. 坐標平面兩點距離108學年鷺江國中第2次段考數學 第6題
   鉛直方向最容易出錯：$B$ 的 $y$ 坐標是 $-4$，兩點鉛直距離是 $4-(-4)=8$，不是 $4-4=0$。漏掉負號會算成 $\overline{AB}=\sqrt{4^2+0^2}=4$，整題就毀了。另一個是算到 $\sqrt{80}$ 就收工，忘記 $80$ 裡還有完全平方因數 $16$ 可以提出來；只要根號內還能再拆出平方數，就還不是最簡根式。
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3. 圓上點與圓心距離判斷108學年鷺江國中第2次段考數學 第1題
   最常見的錯是把直徑直接當半徑用，看到題目寫 $8$ 就挑 $\overline{OA}=8$ 的那個選項，但那個距離會讓點跑到圓外面去。另一個誤會是以為「圓」包含裡面的整塊面，於是覺得 $\overline{OA}=3$ 也可以；圓只指最外面那一圈曲線，內部的點屬於圓內而不是圓上。看到直徑先除以二，再拿半徑去比大小，這題就穩了。
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4. 連心線段與公切線個數關係108學年鷺江國中第2次段考數學 第2題
   最常見的漏洞是只想到「相交」和「外切」，忘了外離也滿足連心線段長大於半徑差，於是覺得 $4$ 條畫不出來而去挑 $4$ 那個選項；其實兩圓分得開開的時候，四條公切線都存在。另一個坑是把「半徑差」看成「半徑和」，條件一變，整組判斷全部跑掉。記住 $1$ 條公切線是內切的專利，而這題剛好把內切擋在門外。
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5. 過圓心的割線與切線的交點判斷108學年鷺江國中第2次段考數學 第5題
   很多人只盯著「切線」兩個字，看到 $C$ 也坐在那條切線上就直接圈 $C$；但通過 $C$ 的另一條線是斜著穿過圓的割線，它從圓心旁邊溜過去，並沒有通過 $O$，不符合題目要的「過圓心的割線」。另一個坑是把最上面那條從圓上方掠過的直線誤認成切線，於是挑了 $B$。判斷切線只看一件事：和圓恰好有一個公共點，沾到兩點是割線，一點都沒沾到就什麼都不是。
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6. 切線弦角與圓周角度數比較108學年鷺江國中第2次段考數學 第6題
   推到「$\angle DBC=\angle3$」就收手的人最多，會直接說 $\angle C$ 也等於 $\angle3$；但 $\angle3$ 搬過去以後是 $\triangle BDC$ 在 $B$ 的角，不是在 $C$ 的角，兩者只有在等腰時才會相等。另一個常見錯是拿 $\overline{AD}/\!/\overline{BC}$ 配截線 $\overline{DC}$，就把 $\angle C$ 說成等於 $D$ 點靠近 $C$ 的 $\angle4$；真正和 $\angle C$ 搭上線的是整個 $\angle ADC$，也就是 $\angle3$ 加 $\angle4$，而且兩者是同側內角，相加才等於 $180°$。
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7. 圓的性質敘述正確性判斷（四人說法）108學年鷺江國中第2次段考數學 第7題
   小江那句最容易被點頭放過：直覺上會覺得「離圓心越遠的弦越長」，其實剛好相反，弦心距越長弦越短，被這句騙走的人非常多。小國那句也很像對的，平行弦確實會夾出兩段相等的弧，但相等的是被夾住的那兩段，不是兩條弦各自所對的弧。把 $d^2+\ell^2=r^2$ 寫出來、再隨手畫一組長短不同的平行弦，這兩個陷阱一秒就破。
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8. 圓內外角與圓周角大小比較108學年鷺江國中第2次段考數學 第8題
   最常見的錯是把口訣記反，以為頂點離圓越遠、角張得越大，於是挑了圓外那個 $\angle3$；事實上頂點退到圓外時，角會被外面那段三角形削掉一塊，$\angle3$ 反而是四個裡最小的。另一個坑是以為弦切角一定比圓周角大而去選 $\angle4$，可是 $\angle4$ 和 $\angle2$ 夾的是同一段弧，兩個完全一樣大，根本分不出高下。
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9. 坐標平面上直線與圓位置關係108學年鷺江國中第2次段考數學 第10題
   最常見的錯是直接把常數項 $14$ 當成距離，看到 $14>10$ 就宣布不相交；但 $14$ 只是兩個截距的長度，是斜著量的，原點到直線的最短距離要垂直去量，只有 $7\sqrt2$。另一個坑是算出 $7\sqrt2$ 後偷懶用近似值比大小，$\sqrt2$ 若記成 $1.5$ 就變成 $10.5$，反而判成不相交。比根號大小時兩邊平方，用 $98$ 對 $100$，一眼就分出來。
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10. 切線與割線夾角求度數108學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
    最常見的錯是在三角形裡算出 $\angle AOC=54°$ 之後就收手，把 $54°$ 當成答案填上去；$54°$ 是圓心角，不是切線與弦的夾角。第二個坑是忘了 $\overline{OB}$ 與 $\overline{OC}$ 都是半徑、$\triangle OBC$ 是等腰三角形，把 $\angle OCB$ 誤當成 $54°$，算出 $90°-54°=36°$，剛好和題目給的角一樣大，更容易讓人誤以為對。要先用等腰求出底角 $63°$ 再去扣。
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11. 三角形內切圓切線長求周長108學年鷺江國中第2次段考數學 第13題
    最常見的錯是把 $5+6+4=15$ 直接當成周長交出去；那只是三段切線長各算一次，剛好是真正周長的一半，數字看起來很乾淨反而讓人不起疑。另一個坑是只把 $\overline{AP}=\overline{AR}$ 這一組記起來，另外兩個頂點忘了配對，結果某一邊只湊出半截。畫圖時把六段切線用相同記號兩兩標好，三邊自然就拼得完整。
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12. 兩切線長求切點連線長108學年鷺江國中第2次段考數學 第14題
    最常見的錯是把 $\overline{AB}$ 當成兩條切線長相加，寫成 $8+8=16$；$\overline{AB}$ 是連接兩個切點的弦，和切線段是完全不同的線段。第二個坑是算出斜邊上的高 $\dfrac{24}{5}$ 就直接填答，忘了那只是 $\overline{AB}$ 的一半。還有人把 $\overline{AB}$ 誤當成直徑填 $12$，但 $A$、$B$ 都在 $P$ 的同一側，這條弦根本不通過圓心。
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13. 兩圓外切共切線求切點距離108學年鷺江國中第2次段考數學 第16題
    最常見的錯是把它當成外公切線，用半徑相減去算 $\sqrt{15^2-(8-4)^2}=\sqrt{225-16}=\sqrt{209}$，開出來是個很醜的數，看到就該懷疑自己用錯公式。內公切線從兩圓中間穿過，兩條半徑分居切線兩側，要把半徑「相加」；外公切線從兩圓外側繞過，兩條半徑同側，才是「相減」。另一個坑是只用大圓半徑寫 $\sqrt{15^2-8^2}$，那是把小圓整個忘掉了。
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14. 割線與切線長求弦長108學年鷺江國中第2次段考數學 第17題
    最常見的錯是把定理右邊寫成 $\overline{PC}^2=\overline{PA}\times\overline{AB}$，用外段去乘中間那一段，算成 $81=k\times2k$、$k^2=40.5$，開出來是個很不漂亮的數，看到就該回頭檢查。定理右邊的兩段一定都從 $P$ 量起，一段到近的交點、一段到遠的交點。第二個坑是解出 $k=3\sqrt3$ 就填答，忘了題目問的是 $\overline{AB}=2k$，答案要再翻一倍。
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15. 兩切線與內部三角形周長求外部三角形周長108學年鷺江國中第2次段考數學 第20題
    最常見的錯是把 $\overline{OC}=10$ 直接當成 $\overline{BC}$，忘了還要補上半徑 $\overline{OB}=6$；那樣相似比會誤算成 $8:10$，周長變成 $24\times\dfrac{10}{8}=30$。另一個坑是把「周長比」記成「相似比的平方」，算出 $24\times2^2=96$；平方的是面積比，周長和邊長一樣只是一次方。先解出 $\overline{EC}=8$ 與 $\overline{OC}=10$，再小心把 $\overline{BC}$ 接成 $16$。
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16. 坐標平面上圓與軸相切求圓心坐標108學年鷺江國中第2次段考數學 第23題
    最常見的錯是把半徑當成弦長 $16$ 或它的一半 $8$，忘了半徑其實是由「與 $x$ 軸相切」這個條件決定的；是圓心的 $y$ 坐標 $-10$ 才給出半徑 $10$。第二個坑是算出 $|h|=6$ 之後直接寫 $(6,-10)$，漏掉最後一步看圖定正負；圖上切點在原點左側，圓心必須在 $y$ 軸左邊，$x$ 坐標要帶負號。
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17. 直角三角形內切圓求切線段長108學年鷺江國中第2次段考數學 第24題
    全題最關鍵的判斷就是「這不是內切圓」。若誤當成內切圓，會套 $\overline{CE}=\overline{CF}=\dfrac{12+13-5}{2}=10$，和圖上 $E$ 明明在延長線上的位置完全兜不起來。分辨方法只看切點跟圓心：三個切點都落在邊上、圓心在三角形內，才是內切圓；有兩個切點跑到延長線上、圓心在三角形外，那就是旁切圓。第二個坑是 ② 誤拿 $\overline{BC}$ 當股長，但 $\triangle ABE$ 的兩股是 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AE}$。
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18. 外心圓心角求圓周角(雙解)108學年鷺江國中第3次段考數學 第19題
    這題最大的失分原因是算出 $80°$ 就收手。$\angle BOC=160°$ 只鎖住 $B$、$C$ 相對於 $O$ 的位置，$A$ 還能落在外接圓的長弧或短弧上：長弧得 $80°$、短弧得 $100°$。看到題目寫「答案有兩個」，就要主動把鈍角的版本畫出來檢查，別只憑一張示意圖想像。
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19. 扇形圖形辨識108學年鷺江國中第1次段考數學 第2題
    最容易掉的坑是以為扇形的圓心角一定要小於 $180^\circ$，看到 (C) 塗的是比較大的那一塊就跳過它，改去選外型比較像「一片扇子」的 (D)。扇形只看邊界是不是「兩條半徑加一段弧」，大扇形同樣算。也別拿「圓心有沒有在斜線區域裡」當判準，(B) 的圓心在區域內卻是弓形。
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20. 已知半徑與弧長求扇形圓心角108學年鷺江國中第1次段考數學 第11題
    最常見的錯是把弧長和面積的公式混在一起，拿 $\pi r^2$ 去當分母；半徑 $15$ 時圓面積是 $225\pi$，用 $12\pi$ 除以 $225\pi$ 再乘 $360$ 會得到一個根本不是整數度數的答案。記牢：弧長對應圓周 $2\pi r$，面積才對應 $\pi r^2$。另一個坑是算出 $\dfrac{2}{5}$ 就停手，忘了乘回 $360$。
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21. 由拋物線圖形判斷二次函數式108學年鷺江國中第1次段考數學 第2題
    判斷這種題要「開口方向」和「頂點位置」兩關都過。只看開口向下就在兩個負係數裡隨手挑，很容易誤選 (A)；(A) 的頂點是 $(0,-1)$，在原點下方，整條曲線都在 $x$ 軸下方，不會和 $x$ 軸相交，與圖不合。另一個錯是把開口方向看反而選到係數為正的式子，那種圖是往上開口的。
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22. 拋物線平移使圖形疊合108學年鷺江國中第1次段考數學 第3題
    最常見的錯是只盯著括號裡的 $+3$，用「括號裡是加就往左」的口訣直接答「向左 $3$ 個單位」而誤選 (A)。要比的是兩個頂點的 $x$ 坐標 $1$ 與 $-3$，相差是 $4$ 不是 $3$。另一個錯是方向弄反答成向右 $4$，落在 (D)；$-3$ 在 $1$ 的左邊，當然是往左移。先把兩個頂點寫出來再比，最不會出錯。
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23. 拋物線與正三角形求y軸交點108學年鷺江國中第1次段考數學 第8題
    關鍵在分清楚「高」和「邊長」。$A$ 到 $\overline{BC}$ 的距離 $2$ 是高，不是半條邊長；若直接把半條邊長當成 $2$，會算出 $a=\dfrac{1}{2}$、交點 $\left(0,\dfrac{9}{2}\right)$ 而誤選 (A)。若把它當成整條 $\overline{BC}$ 的長，半條邊變成 $1$，會得 $a=2$、交點 $(0,18)$ 而落進 (D)。先用畢氏定理把高與邊長的關係算清楚再代點。
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24. 直線與兩二次函數交點弦長求代數和108學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    最常見的錯是把弦長直接當成交點的 $x$ 坐標。$\overline{AB}=2$ 指的是整條弦的長度，因為兩端對稱於 $y$ 軸，各自的 $x$ 坐標是 $\pm1$ 而不是 $\pm2$。如果少除以 $2$，代入後會得到 $a=-14$、$b=30$，相加是 $16$，正好落進 (C) 這個誘答。動手前先畫個草圖，把 $\pm1$ 與 $\pm2$ 標在水平線上再代值。
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25. 圓形圖判讀訂餐人數108學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
    最常見的錯是把圓心角的度數直接當成百分比，算成 $720\times35\%=252$ 人。圓心角的分母是 $360$ 不是 $100$，比例要寫成 $\dfrac{35}{360}$ 才對。實務上最快的做法是先算「每一度代表幾人」，這題是 $2$ 人，其他扇形也能一口氣算完，最後用五項人數的總和是不是等於總人數來檢查自己有沒有讀錯角度。
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26. 拋物線過已知點求方程式與等腰三角形頂點108學年鷺江國中第1次段考數學 第18題
    「以 $\overline{AB}$ 為腰」的意思是 $\overline{AB}$ 是兩條等長邊的其中一條，另一腰可能是 $\overline{PA}$ 也可能是 $\overline{PB}$，要分兩種情況討論才不會漏。另一個常犯的錯是把「為腰」看成「為底」而去解 $\overline{PA}=\overline{PB}$，那樣得到 $1+p^2=(p+5)^2$，$p=-2.4$，是負的，根本不在 $y$ 軸正半軸上。
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27. 直線方程式代入求係數108學年鷺江國中第2次段考數學 第7題
    最常見的失誤是把坐標代反：$(-4,2)$ 的 $-4$ 是 $x$、$2$ 才是 $y$，代反會變成 $-6-4a=4$，解出 $-2.5$ 這種不在選項裡的數。其次是把 $-3\times(-4)$ 算成 $-12$，少了一次負負得正。代完先把常數整理乾淨，再移項解 $a$。
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28. 三線共點求參數值108學年鷺江國中第2次段考數學 第15題
    常見的錯是代入 $L_3$ 時把 $-2y$ 的負號弄丟，寫成 $3a+2\times 3=3$，解出 $a=-1$，四個選項裡都找不到才回頭重算。也有人一開始就想把三個式子湊在一起硬解，愈算愈亂。先挑 $L_2$ 這種只綁住一個未知數的式子求交點，最省事也最不容易出錯。
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29. 判斷點是否在水平線方程式圖形上108學年鷺江國中第2次段考數學 第16題
    這題專門抓「看到 $-3$ 就打勾」。$B(-3,-0.3)$ 與 $C(-3,0)$ 的 $-3$ 都出現在 $x$ 的位置，那是 $x=-3$ 這條鉛直線上的點，與 $y=-3$ 完全無關。另外 $-0.3$ 不等於 $-3$，小數點也是陷阱。檢查前先確認每個點的第二個數字才是 $y$ 坐標。
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30. 直線方程式圖形上多點求參數108學年鷺江國中第2次段考數學 第23題
    兩個地方最常出錯。一是最後 $-6-t=-1$ 整理成 $-t=5$ 之後直接抄成 $t=5$，漏掉兩邊變號那一步。二是代第二個點時忘了 $a$ 已經是負的，把 $-2\times(-3)$ 算成 $-6$，就會解出 $b=\dfrac{5}{7}$ 這種不像話的數。代入前先把 $a$ 的值寫在旁邊。
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31. 坐標對稱點求直線方程式108學年鷺江國中第3次段考數學 第18題
    對 $x$ 軸對稱是縱坐標變號、對 $y$ 軸對稱是橫坐標變號，兩個很容易記反。可以這樣想：沿 $x$ 軸對摺，點會翻到上下的另一邊，所以改變的是上下位置。另一個常見失誤是求完 $B$、$C$ 就停手寫坐標，忘了題目要的是直線方程式，還得設 $y=ax+b$ 代入解聯立才算做完。
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32. 坐標平面上兩中點連線之直線方程式109學年鷺江國中第1次段考數學 第5題
    中點公式是把兩個端點的坐標「相加再除以 $2$」，不是相減；若把 $E$ 算成 $(4,-3)$ 這種相減的結果，後面整條直線都會跟著歪掉。另一個常見失誤是配錯點：題目要的是 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 各自的中點，不是 $\overline{AC}$、$\overline{BD}$ 的中點，配錯會算出一條不在選項裡的直線。算完務必把另一個點代回去驗算一次。
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33. 坐標平面平行線段求未知點坐標109學年鷺江國中第1次段考數學 第19題
    斜率是「縱坐標的差」除以「橫坐標的差」，顛倒成橫除以縱是最常見的失誤，這題會算成 $-\dfrac{1}{2}$、解出 $D(0,1.5)$（只有單獨把 $\overline{AB}$ 那一條顛倒才走得到；兩條都顛倒反而解回正解）。另一個是負號：相減時括號要寫出來，$0-\left(-\dfrac{5}{4}\right)=\dfrac{5}{4}$ 不能寫成 $-\dfrac{5}{4}$。算完回頭看圖，$D$ 應該在原點上方，解出負數就一定哪裡錯了。
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34. 坐標平面兩點距離求值109學年鷺江國中第2次段考數學 第20題
    最常見的錯誤是把兩股直接相加當成距離，算成 $7+12=19$。但斜邊一定比任一股長、又比兩股之和短，$\sqrt{193}$ 大約 13.9 才合理。另一個要小心的是負坐標相減：$-6-6=-12$，不是 $-6+6=0$，那樣會得到距離只有 7。先算差、再平方、最後開根號，順序不能亂。
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35. 坐標平面線段長與三角形面積109學年鷺江國中第2次段考數學 第24題
    在坐標平面上求面積，先找有沒有和坐標軸平行的邊。這題 $\overline{AB}$ 鉛直、$\overline{BC}$ 水平，直角就落在 $B$，兩條直角邊直接當底和高最快。最容易錯的是拿第(2)小題算出的 $\overline{AC}=5$ 去當底，算成 $\dfrac12\times5\times4=10$；$\overline{AC}$ 是斜邊，它對應的高並不是 4。
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36. 過圓上一點的切線數判斷109學年鷺江國中第2次段考數學 第2題
    很多人把「圓上一點」和「圓外一點」搞混：從圓外一點可以作出兩條切線，從圓內一點則一條都作不出來，只有站在圓上這一點時恰好一條。作答前先確認那個點到底在圓的裡面、上面還是外面，位置不同，答案完全不一樣。
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37. 弦長與弦心距關係判斷109學年鷺江國中第2次段考數學 第3題
    這個結論只在同一個圓、或半徑相等的兩個圓裡才成立。如果兩條弦來自半徑不同的圓，比較長的那一條弦心距反而可能比較大，因為式子裡的 $r$ 換掉了。看到這類敘述先確認是不是同一個圓，再套「弦愈長、弦心距愈短」這句口訣。
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38. 兩圓外離時公切線數判斷109學年鷺江國中第2次段考數學 第8題
    有些人只記得「外公切線」，忘了外離時兩圓之間還夾得下兩條內公切線，於是答成 $2$ 條而誤判這句話。判斷方法很直接：兩圓離得愈開，能塞進去的公切線就愈多；一旦一個圓鑽進另一個圓裡面，能畫的公切線條數就急速掉下來。
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39. 圓內外四種角大小比較（如圖）109學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
    把圓內角和圓外角的公式記反，是這題最大的坑。若誤以為圓內角是兩弧相減再除以 $2$、圓外角是兩弧相加再除以 $2$，排出來的順序會整個顛倒，最小的變成 $\angle1$ 而挑成 (A)。記法是：頂點往圓裡面擠，角就被撐大；頂點往圓外面退，角就被拉小。
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40. 圓心角、弧長、弦長、扇形面積關係判斷（如圖）109學年鷺江國中第2次段考數學 第18題
    這題的陷阱是把「圓心角加倍、弦長也加倍」當成理所當然。跟圓心角成正比的是弧長與扇形面積，弦長不是：圓心角從 $60^\circ$ 加倍到 $120^\circ$，弦長只從 $10$ 變成 $10\sqrt{3}\approx17.3$，離 $20$ 還差得遠。題目問的是哪一個敘述「錯誤」，前三個都成立，要一路檢查到最後一個才能收手。
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41. 正五邊形內接圓求弧長（如圖）109學年鷺江國中第2次段考數學 第21題
    最常見的錯是把 $\widehat{AC}$ 只當成一段弧，用 $72^\circ$ 去算而得到 $4\pi$，漏掉中間還隔著一個 $B$。反過來，若走另一邊經過 $E$、$D$ 的那條路，會變成 $216^\circ$、弧長 $12\pi$，而 $\widehat{AC}$ 習慣上指較短的那一段，也就是經過 $B$ 的 $144^\circ$ 劣弧。另一個坑是把弧長和扇形面積的公式弄混，用 $\pi\times10^2\times\dfrac{144}{360}$ 算成 $40\pi$。
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42. 圓外一點兩切線求切點連線長（如圖）109學年鷺江國中第2次段考數學 第22題
    最常見的錯是把題目給的 $\angle MOP=60^\circ$ 直接當成整個圓心角 $\angle MON$。若誤以為 $\angle MON=60^\circ$，$\triangle OMN$ 就變成正三角形，會算出 $\overline{MN}=10$。$\overline{OP}$ 是這張圖的對稱軸，它把 $\angle MON$ 平分成兩個 $60^\circ$，整個角其實是 $120^\circ$。另外題目問的 $\overline{MN}$ 是一條弦，不是弧，不要拿弧長公式去算。
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43. 切線、割線與弦心距求值（如圖）109學年鷺江國中第2次段考數學 第26題
    兩個地方容易翻車。一是把關係式寫成 $\overline{PA}^2=\overline{PC}\times\overline{BC}$，其實要用的是從 $P$ 算起的整條割線 $\overline{PB}$，不是圓內那一段。二是算出 $\overline{BC}=60$ 之後，直接把半弦 $30$ 當成弦心距；弦心距是圓心到弦的垂直距離，還要拿 $30$ 和半徑 $34$ 再湊一次直角三角形。
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44. 兩圓外切公切線長求值（如圖）109學年鷺江國中第2次段考數學 第30題
    最常見的錯是只算到 $\overline{MP}$ 就收手，把 $\overline{MN}$ 當成 $12$，答成 $24+12=36$；$\overline{MN}$ 是從 $M$ 跨過 $P$ 一路到 $N$，$\overline{MP}$ 只是其中一半。另一個坑是把外切兩圓的連心線長寫成 $16-9=7$，外切時圓心距是兩半徑相加的 $25$，相減的 $7$ 是拿來當直角三角形另一股的。
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45. 四邊形面積求解（如圖）109學年鷺江國中第3次段考數學 第14題
    兩個地方要小心。第一，$x+2$ 與 $x$ 是虛線垂線的長度，不是 $\overline{AB}$、$\overline{CD}$ 的邊長，看成邊長就算不出面積。第二，三角形面積別忘了乘 $\dfrac{1}{2}$；漏掉會算成 $6(x+2)+4x=10x+12$，剛好是正解的兩倍，形式很像卻是錯的。
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46. 外心與圓心角109學年鷺江國中第3次段考數學 第8題
    「圓心角是圓周角的兩倍」這句話沒錯，但算出 $200°$ 之後不能直接當成 $\angle BOC$。頂角是鈍角時外心會跑到三角形外面，$200°$ 是繞過去的優角，真正要填的是 $360°-200°=160°$。很多人算到 $200°$ 就在選項裡找到它，於是選了同時列出 $160°$ 與 $200°$ 的 (D)；但三角形的三個角都被釘死了，答案只會有一個。
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47. 外心與圓心角求角度109學年鷺江國中第3次段考數學 第15題
    看到圓心角，很多人會反射性地想「會不會有兩解」，然後選同時寫著 $75°$ 與 $105°$ 的 (D)。但題目已經指定銳角三角形：若 $\angle BAC=105°$ 就出現鈍角，條件整個崩掉。另一種錯是取錯那一段弧，用 $360°-150°=210°$ 再取一半得到 $105°$。判斷時先確定頂點落在哪一段弧上，再決定要用哪一個角去折半。
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48. 五點共圓與圓內接四邊形求弦長109學年鷺江國中第3次段考數學 第20題
    這題埋了好幾個「算對了半路就停手」的坑：$26$ 是斜邊也是直徑、$13$ 是半徑，兩個都躺在選項裡，可是題目要的是弦 $\overline{CE}$。另外要特別當心圓周角對到哪一段弧：$\angle CDE=120°$ 對的是不含 $D$ 的那段 $240°$ 的弧，所以圓心角 $\angle COE$ 是剩下的 $120°$，不是 $240°$。算完一定回頭確認題目問的是什麼。
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49. 外接圓中弧中點與圓心角109學年鷺江國中第3次段考數學 第22題
    這題要先把兩個圓周角都換算成弧，再把垂直條件讀成「$D$ 是弧 $AC$ 的中點」，少了任何一步都走不下去。常見錯誤有兩個：一是算出不含 $B$ 的弧 $AC$ 等於 $168°$ 就停手，直接把它當成 $\angle BOD$；二是看到 $\angle C=66°$ 就套兩倍寫成 $132°$，但那是弧 $AB$ 對應的圓心角 $\angle AOB$，不是要求的 $\angle BOD$。
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50. 拋物線拱橋水位下降水面寬度109學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
    兩個坑最常見。第一個是算出 $x=2\sqrt6$ 就直接當答案，但那只是水面的一半，還要乘 $2$ 才是整個寬度，漏掉這一步剛好掉進另一個選項。第二個是把「下降 $2$ 公尺」誤當成新水面離拱頂只有 $2$ 公尺，其實原本已經是 $4$ 公尺，再降 $2$ 公尺要用 $6$。建立坐標後隨手把兩條水面的 $y$ 值標在圖上，可以同時避開這兩個錯。
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51. 投籃拋物線路徑函數式判斷109學年鷺江國中第1次段考數學 第15題
    頂點式裡括號的符號是這題唯一的關卡。頂點的 $x$ 坐標是 $-5$，代進 $y=a(x-h)^2+k$ 要寫成 $x-(-5)=x+5$；若順手寫成 $(x-5)$，再代 $A(-13,0)$ 會得到 $a\times(-18)^2+64=0$，算出 $a=-\dfrac{16}{81}$，剛好湊出另一個選項，很難察覺。寫完頂點式先問自己：讓括號歸零的 $x$ 是不是頂點的 $x$ 坐標。
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52. 過兩點求直線方程式109學年鷺江國中第2次段考數學 第16題
    常見錯誤是常數項的正負弄反，寫成 $y=x-1$。分辨的方法只有一個：把兩個已知點都代回去檢查，$y=x-1$ 代入 $A(1,2)$ 會得到 $1-1=0$，和 $2$ 對不上，馬上就知道不對。另一個錯是只用其中一個點就下結論，但通過同一個點的直線有無限多條，兩個點都滿足才能確定。
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53. 圓上一點與圓心的距離110學年新莊國中第2次段考數學 第1題
    題目給的是直徑不是半徑。看到 $17$ 就直接選 (C) 是最常見的錯：點在圓上時，它到圓心的距離是半徑，要先把直徑除以 $2$。讀題時先圈出「直徑」「半徑」這兩個字，再決定要不要除以 $2$，就不會混淆。
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54. 圓外一點到圓的最長距離110學年新莊國中第2次段考數學 第3題
    算出 $\overline{PO}=25$ 就停下來選 (C) 是最常見的錯：$25$ 是 $P$ 到圓心的距離，不是到圓上的距離。圓心在圓裡面，還要再往外走一個半徑才碰到圓周最遠處。也有人把切線長 $24$ 當答案選 (D)，但切點只是圓上的其中一點，並不是最遠的點。
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55. 圓的基本性質敘述判斷110學年新莊國中第2次段考數學 第4題
    (D) 讀起來很像切線的定義，所以容易放過。切線的重點是「和圓只有一個交點」，不是「通過圓上一點」：割線也通過圓上的點，而且通過兩個。判斷敘述時，試著畫一條通過 $A$ 又斜斜穿過圓的直線，只要找得到一個反例，這句話就是錯的。
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56. 圓外切四邊形求第四邊長110學年新莊國中第2次段考數學 第7題
    關鍵是「對邊和相等」，不是「鄰邊和相等」。若把相鄰的 $\overline{AB}+\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}+\overline{AD}$ 配成一組，會得 $18=9+\overline{AD}$、$\overline{AD}=9$ 而誤選 (B)。先照頂點順序 $A$、$B$、$C$、$D$ 繞一圈，確認哪兩條邊不共用頂點，那兩條才是對邊。
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57. 圓周角與切線角性質判斷110學年新莊國中第2次段考數學 第8題
    這題最容易把弧的度數和圓周角搞混。弧的度數等於它所對的圓心角，圓周角只有它的一半。看到 $\angle CAB=40^\circ$ 就以為 $\overparen{BC}=40^\circ$，正是 (C) 的陷阱。記法：圓心角、弧度數兩者相等；圓周角是它們的一半。
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58. 兩切線交角求圓周角110學年新莊國中第2次段考數學 第10題
    算出圓心角 $110^\circ$ 就直接選 (D) 是最常見的錯：$\angle C$ 的頂點在圓周上，是圓周角，要再除以 $2$。也有人把 $\angle P=70^\circ$ 直接除以 $2$ 得 $35^\circ$ 選 (A)，但 $\angle P$ 的頂點在圓外，不是圓心角，不能這樣用。要先用兩個直角求出真正的圓心角。
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59. 圓的切線數判斷110學年鷺江國中第2次段考數學 第1題
    常把「圓外一點可作兩條切線」和「圓上一點可作一條切線」記混。記法：點在圓外有兩條、在圓上只有一條、在圓內一條都沒有，因為過圓內一點的直線都會和圓交於兩點。判斷時先看點的位置，再想切線必須和過切點的半徑垂直。
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60. 弧比與圓內接三角形內角比110學年鷺江國中第2次段考數學 第10題
    常見錯法是照名字配對，把 $\angle M$ 配 $\widehat{MN}$、$\angle N$ 配 $\widehat{NP}$、$\angle P$ 配 $\widehat{PM}$，得到 $3:4:5$ 而選 (A)。正確配法是「頂點對面的弧」：$\angle M$ 的兩邊穿過 $N$、$P$，夾住的是 $\widehat{NP}$。先把角的兩邊畫出來，看它夾住哪一段弧最保險。
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61. 圓心角與圓周角求值110學年鷺江國中第2次段考數學 第14題
    常見錯誤是以為圓周角和圓心角一樣大，直接寫 $84^\circ$；圓周角只有同弧圓心角的一半。另外要先確認 $D$ 在哪一段弧上：若 $D$ 落在較短的 $\widehat{AB}$ 上，對的就變成另一段 $276^\circ$ 的弧，角度會是 $138^\circ$。本圖 $D$ 在左側，所以是 $42^\circ$。
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62. 圓內角與圓外角求值110學年鷺江國中第2次段考數學 第15題
    最常搞混的是「差的一半」和「和的一半」：頂點在圓外的 $\angle P$ 用兩弧相減，頂點在圓內的 $\angle AED$ 用兩弧相加。若把 $\angle P$ 也用相加會得到 $80^\circ$，把 $\angle AED$ 用相減會得到 $30^\circ$，兩格剛好對調。記不清時，就回到圓周角加外角去推。
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63. 弦心距求弦長110學年鷺江國中第2次段考數學 第16題
    常見錯誤有兩個：一是忘了弦心距平分弦，直接拿 $\overline{AB}=16$ 當直角三角形的股，算出的半徑就錯了；二是算出 $\overline{CN}=6$ 就當答案，漏乘 $2$。記得弦心距把弦切成兩半，畢氏定理用的是「半弦、弦心距、半徑」這三邊。
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64. 圓外一點兩切線長求切點距離110學年鷺江國中第2次段考數學 第17題
    最常漏掉最後乘 $2$，把 $\overline{MK}=\dfrac{60}{13}$ 當成答案；$\overline{OP}$ 只把 $\overline{MN}$ 切成一半。另一個錯是以為 $\overline{MN}$ 就是切線長 $12$，其實 $\overline{MN}$ 是兩切點連成的弦，比切線段短。求直角三角形斜邊上的高，用「面積算兩次」最快。
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65. 圓內定點的最短與最長弦110學年鷺江國中第2次段考數學 第18題
    常以為最短弦是「離圓心最近」的那一條，方向正好相反：弦心距越大，弦越短。過 $P$ 的弦中，弦心距最大就是 $\overline{OP}$ 本身，這時弦垂直於 $\overline{OP}$。另外算出半弦長 $6$ 後別忘了乘 $2$，否則會得到 $6+20=26$。
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66. 切線與弦圍成黑色部分面積110學年鷺江國中第2次段考數學 第19題
    常見錯誤是把扇形的圓心角當成 $30^\circ$，那是 $\angle ACO$，不是扇形的角；用 $30^\circ$ 會算出 $18\sqrt3-3\pi$。扇形的頂點在圓心 $O$，要找的是 $\angle AOC$，它對著最長的股 $\overline{AC}$，應是 $60^\circ$。另外要先確認 $\overline{OA}\perp\overline{AC}$，才能用兩股算三角形面積。
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67. 蛋糕面積換算與扇形圓心角比110學年鷺江國中第2次段考數學 第23題
    第一小題常以為直徑加起來一樣就一樣大，但面積和半徑的平方成正比，直徑變 $2$ 倍面積變 $4$ 倍。第二小題常直接把弧長比 $1:2$ 當成角度比，忽略兩圓半徑不同；弧長同時受半徑和圓心角影響，要先把半徑除掉。另外要看清楚較小的圓 $O_1$ 才是 $10$ 吋。
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68. 三角形外心角度關係判斷110學年新莊國中第3次段考數學 第10題
    最容易把對應關係配錯：$\angle AOC$ 所對的是弧 AC，對應的圓周角是對面頂點的 $\angle ABC$，不是 $\angle ACB$。若誤用 $2\angle ACB=120^\circ$，會以為 (A) 錯誤而選 (A)。記法：圓心角兩邊連到哪兩點，就找第三個頂點的角。
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69. 外心圓心角與圓周角關係110學年鷺江國中第3次段考數學 第11題
    常見錯是把外心和內心的公式搞混，用 $90°+\frac12\angle A=130°$，那是內心 $\angle BIC$ 的算法。也有人直接寫 $\angle BOC=\angle A=80°$，忘了圓心角要乘 $2$。記住外心是外接圓圓心，$\angle BOC$ 是圓心角，等於同弧所對圓周角的兩倍；內心才有「九十度加一半」的公式。
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70. 拋物線地洞求深度110學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
    常見錯誤是把「向下挖了 $28$ 公分」當成離洞底 $28$ 公分，列成 $28=25a$，算出的深度 $81\times\dfrac{28}{25}=90.72$ 不在選項裡。$28$ 是從地面量下去的距離，那一層離洞底是 $d-28$。另外兩個寬度要各取一半 $9$、$5$ 當點的橫坐標；兩個都不取一半雖然恰好也得 $40.5$，但點的位置已經和圖對不上。
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71. 拋物線上四點求梯形面積係數110學年鷺江國中第1次段考數學 第20題
    常見錯誤是把上底、下底取成 $2$ 和 $3$，只用了右半邊的長度，得到 $\dfrac{(2+3)\times5a}{2}=12.5a=10$，$a=\dfrac{4}{5}$ 而選 (B)。$D$、$C$ 在對稱軸另一側，底邊長是橫坐標的兩倍，也就是 $4$ 和 $6$。寫出四個點的坐標再相減求長度，就不會只算到一半。
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72. 兩點求直線方程式110學年鷺江國中第2次段考數學 第7題
    算出 $a=2$、$b=3$ 之後，最常見的失誤是在最後一步把兩個數填反，寫成 $y=3x+2$。$a$ 是 $x$ 前面的係數、$b$ 是常數項，位置不能對調。另一個常見錯是求 $b$ 時減法做反：由 $8+b=11$ 應得 $b=11-8=3$，若寫成 $8-11=-3$ 就變成 $y=2x-3$。寫完一定要拿另一個點代回去驗算。
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73. 垂直線求方程式110學年鷺江國中第2次段考數學 第14題
    $x=6$ 看起來像在講 $x$ 軸，其實它是一條鉛直線；和它垂直的是水平線，方程式要寫成「$y=$ 常數」。最常見的錯是把 $P(6,-2)$ 的兩個坐標用錯：寫成 $x=-2$（拿 $y$ 坐標去配 $x$），或寫成 $y=6$（把 $M$ 的那個 $6$ 搬過來用）。決定水平線的是 $y$ 坐標，決定鉛直線的是 $x$ 坐標。
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74. 直線上兩點求線段長乘積110學年鷺江國中第2次段考數學 第15題
    「平行 $x$ 軸」是兩點一樣高、$y$ 坐標相同；「平行 $y$ 軸」才是 $x$ 坐標相同，這兩句最容易記反。若把 $\overline{AC}$ 平行 $x$ 軸誤解成 $x$ 相同，就會拿 $x=-5$ 去代，解出 $y=-5$，算出長度 $8$，和圖上 $A$、$C$ 同高的樣子完全對不起來。另外水平線段的長度看 $x$ 坐標差、鉛直線段看 $y$ 坐標差，別兩個坐標亂減。
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75. 菱形內一點到邊距離110學年鷺江國中第3次段考數學 第18題
    最常見的失誤是把平行四邊形的面積公式記成三角形的「底乘高再除以 $2$」，列成 $\dfrac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times h=4$，解得 $h=2\sqrt{2}$，剛好掉進 C選項。另一個是被圖上 $M$ 畫得靠近 $D$ 影響，以為距離會隨 $M$ 移動而變；平行線之間處處等距，$M$ 在哪裡都一樣。
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76. 扇形弧長與圓心角110會考數學 第10題
    這題問的是「另一個」扇形，題目給的五派是第一個扇形的弧長，要先用整個圓周十二派減掉才能得到七派，直接用五派算會得到一百五十度，不在選項裡就該察覺。第二個陷阱是圓心角換算要乘三百六十度，有人用一百八十度算出一百零五度而誤選C選項。
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77. 圓內接四邊形與切線110會考數學 第17題
    最容易誤選A選項一百一十六度，因為看到角B等於五十八度就直接乘二，但角B對的是弧AC，不是弧BC，弧BC對的圓周角是角A。這題要善用「切線平行於弦BC」這個條件：切線與弦AC的弦切角等於弧AC的一半，再用平行的內錯角把它搬到角C，得到角C也是五十八度，最後用三百六十度減，或用角A的兩倍來算。
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78. 三角形內心到邊距離110會考數學 第26題
    這題的關鍵是想到內心到三邊等距離，所以I到BC的距離和它到AB、AC的距離一樣，而D在AB上、E在AC上，這兩個距離正好是三角形ADI與AEI的高，用面積和等於三角形ADE的面積十二就能解出。最容易的錯誤是憑圖形以為I在DE的中點，把D到AC的高四除以二得到二，誤選C選項。
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79. 圓外一點切線數目111學年鷺江國中第2次段考數學 第1題
    最常見的錯誤有兩個。第一個是把「圓外一點」讀成「圓上一點」，於是答成 $1$ 條——圓上的點本身就是唯一的切點，當然只有一條。第二個是把「過這個點的直線有無限多條」誤當成「切線有無限多條」，但直線只要穿進圓裡就不是切線了。判斷時養成固定順序：先問這個點在圓內、圓上還是圓外，再對照 $0$、$1$、$2$ 這組答案，位置一確定，條數就確定了。
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80. 弧長、圓心角、扇形面積關係判斷111學年鷺江國中第2次段考數學 第2題
    最容易失分的地方，是把「弧的度數」和「弧的長度」當成同一件事。弧的度數只跟圓心角有關，不管圓多大，$x^\circ$ 的圓心角所對的弧就是 $x^\circ$；但弧的長度會隨半徑改變，一定要乘 $2\pi r$。另一個常見狀況是背公式時把 $2\pi r$ 和 $\pi r^2$ 記混。建議用單位檢查：看到 $r$ 的一次方就是長度，看到 $r^2$ 就是面積，代一次就知道公式有沒有放錯位置。
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81. 點與圓心距離判斷點的位置111學年鷺江國中第2次段考數學 第4題
    這題最容易掉進去的坑，是忘了把直徑換成半徑，直接拿 $8$ 去跟 $8$ 比，得到「距離等於半徑」而選成圓上。題目故意讓距離 $8$ 和直徑 $8$ 一模一樣，就是在等這個反射動作。養成習慣：凡是要判斷點和圓的關係，動筆第一件事就是把已知條件統一換成半徑，再套 $d$ 與 $r$ 的大小比較，數字相同時更要停下來確認自己比的是不是同一個量。
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82. 平行弦求弧長差111學年鷺江國中第2次段考數學 第5題
    最容易出錯的是算到 $360^\circ-240^\circ=120^\circ$ 就停筆，忘了剩下的 $120^\circ$ 是「左右兩段弧的總和」，還要再平分一次才是單獨一段的 $\widehat{BD}$。另一個要小心的是把 $\widehat{AB}$ 讀成含有 $C$、$D$ 的那一大段弧——題目中的 $\widehat{AB}$ 指的是弦 $\overline{AB}$ 上方、不含其他標示點的那段。畫圖時先把四段弧用不同顏色描一次，就不會弄混誰是誰。
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83. 圓的性質敘述正確與否判斷111學年鷺江國中第2次段考數學 第6題
    這四個選項全都是「把比較的對象換掉」的陷阱。(B) 把互補換成相等，(C) 把同一個圓換成兩個圓，(D) 把半徑換成直徑。應對方式是讀選項時先圈出關鍵字：看到對角就想互補，看到弧就先確認是同一個圓還是兩個圓，看到直線與圓的位置關係就立刻把直徑換算成半徑。遇到說不準的選項，隨手代兩組數字算一次，比憑印象判斷可靠得多。
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84. 同心圓弧長求大圓半徑111學年鷺江國中第2次段考數學 第8題
    同心圓這類題目的核心，是先確認「兩段弧的圓心角是不是同一個」。只要圖上是同兩條射線切出來的，圓心角就相同，接著弧長才只跟半徑成正比。最常見的失分是比例式前後項寫反，把 $R=24\times\dfrac{12}{8}$ 寫成 $R=24\times\dfrac{8}{12}=16$。另一種是弧長公式漏掉 $2$，寫成 $\pi r\times\dfrac{x}{360}$，這題剛好因為兩邊都漏而不影響結果，但換一種問法就會出事。寫完務必用「大圓的弧比較長，半徑就必須比較大」檢查一次方向。
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85. 圓外一點兩切線性質敘述判斷111學年鷺江國中第2次段考數學 第11題
    這題問的是「何者錯誤」，而錯的那一個偏偏長得最像課本原句。切線性質的完整說法是「切線垂直於過切點的半徑」，垂直的對象是切線 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$，不是連心線 $\overline{PO}$；只要把 $\perp$ 兩邊的對象換掉，正確敘述就變成錯的。答題時先在圖上把兩個直角記號畫在切點 $A$、$B$ 上，再逐句比對選項寫的是哪兩條線段垂直。另外，問「錯誤」的題目務必把四個選項都驗完再作答，不要看到第一個像對的就跳過。
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86. 切線長與扇形周長111學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
    扇形周長最常見的失分就是「只算弧、忘了兩條半徑」，把答案寫成 $4\pi$ 或 $4\pi+6$。請把扇形想成一片披薩，外圈的弧加上左右兩道直邊，三段都要算。第二個坑是圓心角：$\angle A=60^\circ$ 是頂點在 $A$ 的角，扇形要的是頂點在 $O$ 的 $\angle BOC=120^\circ$，兩者互補而不是相等，直接把 $60^\circ$ 拿去乘會少掉一半。求半徑時也別忘了 $\overline{AO}$ 會平分 $\angle A$，該用的是 $30^\circ$ 而不是 $60^\circ$。
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87. 尺規作圖求過一點另一切線的錯誤作法111學年鷺江國中第2次段考數學 第15題
    這題會被誤判，通常是因為 (C) 裡出現了「垂直」兩個字，讓人聯想到課本的切線性質而直接放行。但切線性質說的是「切線垂直於過切點的半徑」，垂直的一組是 $\overline{OB}$ 與 $\overline{PB}$，(C) 卻是讓 $\overline{OB}$ 垂直於 $\overline{OA}$，兩條都是半徑，和切線一點關係也沒有。處理尺規作圖的選擇題，最有效的方法是把每個作法在草稿紙上真的畫一次，或是用「這個步驟有沒有牽涉到題目要求通過的那個點」來篩，兩招都比憑印象快而且不會錯。
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88. 優弧劣弧倍數關係求圓心角111學年鷺江國中第2次段考數學 第16題
    這題有兩個分開的關卡。第一關是把中文翻成式子：「比劣弧度數的 $3$ 倍多 $60^\circ$」必須寫成 $3x+60$，不能寫成 $3(x+60)$，也不能把 $60$ 忘掉。第二關是問的對象：算出來的 $x=75$ 是劣弧度數，$285$ 是優弧度數，而 $\angle POQ$ 是圓心角，度數只能落在 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 之間，所以對應的是劣弧。養成習慣：解完方程式先把兩個數字都代回原句念一次，再確認題目問的到底是哪一段。
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89. 圓外角與圓周角互餘關係求角度111學年鷺江國中第2次段考數學 第18題
    圓周角題目最關鍵的一句話是：圓周角對的是「不含頂點」的那一段弧。同一條弦 $\overline{AB}$，頂點放在劣弧上和放在優弧上，算出來的角會是 $125^\circ$ 與 $55^\circ$，兩者相加正好 $180^\circ$，這也是圓內接四邊形對角互補的由來。所以看到圖一定要先確認頂點 $C$ 站在哪一側。另一個要提醒的是，$\angle AOB=110^\circ$ 只是中間結果，它是圓心角不是圓周角，算到這裡千萬別停手。
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90. 等腰梯形內切圓求切線長與周長111學年鷺江國中第2次段考數學 第23題
    這題兩小題各有一個關卡。第一小題的關卡是「內切圓給了什麼」：很多人只想到高等於直徑 $12$，卻忘了四邊相切還提供 $\overline{AD}+\overline{BC}=\overline{AB}+\overline{CD}=26$ 這條等式，少了它就只有一條方程式解不出兩個未知數。第二小題的關卡是相似比的用法：$\overline{PA}:\overline{PB}=4:9$ 指的是從 $P$ 量起的整段，而 $\overline{AB}=13$ 是兩段的差，不能直接把 $13$ 乘上 $\dfrac{4}{9}$。設 $\overline{PA}=t$ 再列比例式最保險。另外周長比等於相似比、面積比才是平方，這裡用的是周長，不要多平方一次。
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91. 尺規作圖：求作過一點且與已知直線相切於一點的圓111學年鷺江國中第2次段考數學 第24題
    作圖題最常見的失分不是不會畫，而是「只顧到一個條件」。只作了過 $B$ 的垂線就隨手在上面取一點當圓心，圓會相切但不通過 $A$；只作了 $\overline{AB}$ 的中垂線就取一點，圓會通過 $A$、$B$ 但和 $L$ 交在兩點而不是相切。兩條軌跡缺一不可，交點才是唯一的圓心。另外兩個細節要記牢：一是題目明寫「保留作圖痕跡，否則不計分」，畫弧用的四段弧千萬不要擦掉，也不要用量角器或直尺量長度代替尺規；二是半徑要取 $\overline{OB}$ 而不是隨便一段，雖然 $\overline{OA}$ 和它等長，但寫 $\overline{OB}$ 才能直接扣住相切這個條件。
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92. 內切圓切點求邊長與面積比（兩小題）111學年鷺江國中第3次段考數學 第23題
    第 (1) 小題若沒想到「切線段等長」就會卡住。記住內切圓在三邊上的六段切線段兩兩相等，而 $x+y+z$ 恰好是周長的一半 $27$，於是 $x=27-\overline{BC}$、$y=27-\overline{AC}$、$z=27-\overline{AB}$，一次全部解出。第 (2) 小題的關鍵是三塊小三角形的高都是 $r$，面積比就等於底邊長的比，所以 $\triangle AIC$ 佔全體的 $\dfrac{20}{54}$；別因為「分成三塊」就誤算成 $\dfrac{1}{3}$。
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93. 投籃拋物線路徑判斷函數式111學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
    這題的關鍵不是算，而是從圖上抓穩兩件事：開口方向，以及頂點落在 $y$ 軸的哪一邊。最常見的錯是把 $(x+1)$ 當成往右移而選 (A)，結果頂點跑到 $y$ 軸左邊，和圖上「穿過 $y$ 軸之後才到最高點」互相矛盾。括號內是 $x+1$ 時要 $x=-1$ 才等於 $0$，頂點在左邊；括號內是 $x-1$ 才是右邊。另外別被 $y=6-\frac{1}{2}(x-1)^2$ 這種把常數寫在前面的形式唬住，整理成頂點式再判讀就清楚了。
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94. 坐標平面上 y=0 的圖形是 x 軸111學年鷺江國中第2次段考數學 第1題
    最常見的錯是把 $y=0$ 和 $x=0$ 的圖形對調。記法是看「誰被固定住」：$y=0$ 固定縱坐標為零，點只能左右跑，畫出來是水平的 $x$ 軸；$x=0$ 固定橫坐標為零，點只能上下跑，畫出來是鉛直的 $y$ 軸。另一個常見誤解是覺得 $y=0$ 只代表原點一個點，其實它代表整條直線上無限多個點。
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95. 由圓形圖判斷書籍出借情形敘述是否正確111學年鷺江國中第3次段考數學 第6題
    最大的陷阱是 (A)：很多人看到旅遊標著 $45^\circ$、角度最小，就直接當成借最少的項目，於是算成 $900-300=600$ 本，剛好命中 $600$ 這個數字。其實財經的 $\dfrac{1}{12}$ 換算成圓心角只有 $30^\circ$，比旅遊更小，正確差距是 $900-200=700$ 本。另一個常見失誤是忘了雜誌完全沒有標示、必須用總數倒推，於是把漫畫或小說誤當成最多的項目。把五項全部換成本數再比較，這兩個坑就都不會踩。
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96. 拋物線・準線投影角111分科測驗數學甲 第7題
    所求 $\dfrac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}}$ 的分母要靠拋物線定義換成 $\overline{AF}$，才會變成某個三角形裡的三角比。(1) 是把分子分母顛倒，(4) 錯在 $\angle4$ 與 $\angle3$ 其實相等，餘弦不等於正弦。多選題最保險的做法是像最後一步那樣取一條具體拋物線與一條非水平的焦點弦逐項代數字。
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97. 點到直線距離111會考數學 第7題
    最常見的錯誤有兩種：一是把 $x=-2$ 誤看成水平線，拿 $y$ 坐標算 $|5-(-2)|=7$ 而選 (C)；二是漏掉負號算成 $6-2=4$ 而選 (B)。建議動手在坐標平面上畫出 $x=-2$ 這條鉛直線和 $A$ 點，就能看出從 $A$ 往左走到直線是水平距離，從 $6$ 走到 $-2$ 共 $8$ 格。
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98. 切線長與重心角度111會考數學 第19題
    這題的關鍵是「重心把中線分成 $2:1$」加上「切點處半徑垂直切線」，兩者合起來才會出現斜邊是一股兩倍的直角三角形，得到 $30°$。若忘記重心性質，就沒有辦法知道 $\overline{AG}$ 和半徑的關係，角度算不出來只能猜。另外要注意 $\angle1$、$\angle2$ 分別是 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AE}$、$\overline{AC}$ 與 $\overline{AF}$ 的夾角，兩條切線段中間夾的 $60°$ 不算在內。
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99. 圓弧與弦長對應111會考數學 第21題
    最常見的錯誤是用弦長直接相加：$6+8=14$、$5+9=14$ 兩組和相同，就以為兩組弧的關係也相同而選 (A)。弦長和弧長不是正比關係，弦長不能相加去比。正確做法是利用直徑所對的圓周角是直角，算出「補到半圓」所需要的另一段弦（$\overline{BC}$、$\overline{BE}$），再用等弦對等弧來判斷。
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100. 夾角平分線・正三角形111學測數學A 第6題
     最容易誤選 (1)：把 $L$ 的斜率直接寫成 $\dfrac{11}{9}$，那樣 $L$ 與角平分線平行，圍不出正三角形。也有人算垂直斜率時只取負號忘了倒數，或只取倒數忘了負號得 $\dfrac{9}{11}$ 而選 (4)。記住：正三角形的對稱軸垂直於底邊，「斜率皆為正」是用來確定 $\dfrac{11}{9}$ 那條平分的是 $60°$ 角。
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101. 圓環區域・掃描棒起點111學測數學A 第18題
     最容易誤選 (5) $(2,0)$，以為白端一開始也在 $x$ 軸上，但 $A$ 到 $(2,0)$ 的距離是 $2-\sqrt{3}$，不是 1。誤選 (2) 的人則忘了驗距離：$(1,\sqrt{3})$ 到 $A$ 的距離平方是 $7-2\sqrt{3}$。白端必須同時滿足「在 $C_2$ 上」和「距離 $A$ 為 1」，要聯立兩個方程式。
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102. 直線與圓・射線擊中判定111學測數學B 第8題
     最常見的錯誤是選項 (4)：發現一道光束打不到三個靶，就直覺以為要三道，沒有實際檢查「兩道夠不夠」；其實 $(2,2)$ 與 $(4,6)$ 的範圍有重疊，一道就能同時擊中。另一個常見失誤是解 $63a^{2}-16a\le 0$ 時忘了 $a>0$ 的條件，或把不等式方向弄反寫成 $a\ge\dfrac{16}{63}$。判斷擊中時請一律用「圓心到直線距離 $\le$ 半徑」，再解出 $a$ 的區間，把三個區間畫在數線上就一目了然。
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103. 圓性質敘述判斷（甲~己）112學年鷺江國中第2次段考數學 第3題
     這種「找出錯誤敘述」的題目，最怕的是只挑到一個錯的就急著配選項。建議六句話全部逐句打勾或打叉再比對。最容易失守的是 (乙)：很多人憑直覺覺得「弦愈長離圓心愈遠」，其實弦愈長愈靠近圓心，直徑是最長的弦、弦心距是零。另一個常錯是 (丁) 的「互補」與「互餘」只差一個字，互補是加起來一百八十度、互餘是加起來九十度，務必分清楚。
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104. 弦等於半徑求圓心角112學年鷺江國中第2次段考數學 第6題
     最大的陷阱是沒把「弦等於半徑」這句話用進去，只憑兩條半徑相等就亂猜角度。看到圓心到圓上兩點，先自動寫下兩條半徑相等，再看題目給的弦長跟半徑是什麼關係：等於半徑就是正三角形、六十度；等於根號二倍半徑是九十度；等於直徑就退化成一直線、一百八十度。把這三個常見比例背起來，遇到就能直接判角度。
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105. 切線長定理求四邊形面積112學年鷺江國中第2次段考數學 第7題
     這題的成敗全在看懂 C 的位置。C 是線段 OP 與圓周的交點，所以 OP 被切成「半徑」加「二十四」兩段，而不是給你一段現成的長度。很多人看到 36 和 24 就直接相乘湊面積，等於默認二十四是半徑。正確流程是：切線垂直半徑先立直角三角形，把 OP 寫成 r 加 24 列畢氏定理解出 r，再用「兩個全等直角三角形」算四邊形面積。另外別忘了切線長定理保證 PA 等於 PB，四邊形才拆得成兩塊全等的。
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106. 圓上四點弧長比求圓心角112學年鷺江國中第2次段考數學 第10題
     這題最常見的失誤有兩個。一是把比例的前後項對調：弧AD比弧BC是二比三，代表弧AD比較小，算出來應該小於一百零八度；若算出比一百零八度大就反了。二是忘記四段弧要湊滿三百六十度，只把三段相加就收工。建議動筆時先畫一個圓、依序標上四個點，把每段弧的度數寫在圓外面，最後檢查總和是不是三百六十度，這一步能擋掉絕大多數錯誤。
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107. 內切圓切線長求邊長112學年鷺江國中第2次段考數學 第16題
     最常見的錯是把兩段切線配錯對象，例如把 BD 和 AF 當成相等。切線長相等的前提是「從同一個外點出發」，所以只有 AD 與 AF、BD 與 BE、CE 與 CF 三組成立。另一個坑是用「半周長減對邊」的速算時對錯邊：半周長是十三，十三減去 BC 的十一得到二，那是 AD 不是 BD；BD 要用半周長減 CA，十三減九才是四。不確定時就老老實實列三條方程相加，最不會錯。
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108. 弦心距與弦長求半徑112學年鷺江國中第2次段考數學 第17題
     兩個地方最容易失手。一是把二百八十九直接當成半徑：那是半徑的平方，要先開根號得十七。二是忘了把弦長減半，拿三十當直角三角形的股去算，會出現根號二百八十九減九百，根號裡變成負數，這時就知道漏掉除以二了。畫圖時養成習慣：圓心到弦作垂線，垂足標上中點記號，並在圖上直接寫下弦的一半，後面代公式才不會抓錯邊。
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109. 兩弦弦心距求弦長112學年鷺江國中第2次段考數學 第18題
     兩弦題的節奏是「弦心距、半弦長、半徑」三者組成直角三角形，半徑是兩條弦共用的橋樑。最常見的錯有兩個：一是算出半弦長六就直接當答案，忘了乘二還原整條弦；二是一開始拿整條 AB 等於十倍根號三去配畢氏定理，得到根號三百加二十五等於五倍根號十三，既不是整數也算不下去，那就是忘了先除以二。算完用「弦心距愈大、弦愈短」自我檢查一次最保險。
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110. 直徑與弦求圓心角112學年鷺江國中第2次段考數學 第20題
     最常見的錯是忘了「圓周角換成弧要乘二」，直接用一百八十度減三十五度得到一百四十五度。三十五度是圓周角，對應的弧是七十度，要先把角換成弧或換成圓心角，才能跟直徑的一百八十度相加減。另一個坑是弧對錯邊：∠ACD 的頂點在 C，對到的是不含 C 的那段 AD，別因為 C、D 兩點在圖上靠得近就拿成 CD 那一段。
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111. 外心與圓心角關係112學年鷺江國中第3次段考數學 第11題
     這題最容易掉進「三心公式記混」的坑。$90°+\dfrac{1}{2}\angle A$ 是內心的專屬公式，如果把它套到外心上，會算出 $90°+\dfrac{1}{2}\times100°=140°$，剛好對上一個選項，很多人就這樣被收走。另一個常見動作是直接套「圓心角是圓周角的兩倍」寫成 $2\times100°=200°$，算出來的值根本不在選項裡——這正是在提醒你 $\angle A$ 是鈍角、$O$ 落在 $\overline{BC}$ 的另一側，該用的是 $360°-2\times100°=160°$。
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112. 長條圖轉圓形圖的敘述判斷112學年鷺江國中第1次段考數學 第8題
     三個錯的選項剛好對應三種典型誤解：把人數 $270$ 直接寫成 $270$ 度、把人數 $27$ 直接寫成 $27$ 度，以及算出百分比 $15\%$ 之後忘記再乘 $360^\circ$。還可以用總和檢查：五項的圓心角加起來一定剛好是 $360^\circ$，本題 $180^\circ+90^\circ+18^\circ+54^\circ+18^\circ=360^\circ$，算完把五項加一次就知道有沒有出錯。另外要記得百分比和圓心角是兩個不同的量，比例乘 $360^\circ$ 才是角度，乘 $100\%$ 才是百分比。
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113. 判斷點是否在水平線上112學年鷺江國中第2次段考數學 第2題
     最大的陷阱是把「$y=$ 某數」和「$x=$ 某數」兩種線搞反。方程式裡剩下哪個字母，就是那個坐標被固定住：$y=-1$ 固定了高度，是左右延伸的水平線；$x=-1$ 固定了左右位置，是上下延伸的鉛直線。另外題目問的是「不在」直線上，找到的是唯一的例外，不要看到三個符合就急著圈其中一個。
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114. 由兩點求直線方程式112學年鷺江國中第2次段考數學 第3題
     最常見的錯是把兩點的 $x$ 坐標 $\pm 4$ 抓出來寫成 $x=4$ 或 $x=-4$，也就是水平線與鉛直線記反了。判斷方式很單純：兩點的 $y$ 坐標相同就是水平線，方程式寫成 $y=$ 那個共同值；兩點的 $x$ 坐標相同才是鉛直線，寫成 $x=$ 那個共同值。另外看到題目出現的數字就湊成係數（像 $4x+3y=0$）也是常見的亂猜，寫完一定要把兩個點都代回去驗算。
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115. 由圖形斜率與截距判斷方程式對應直線112學年鷺江國中第2次段考數學 第6題
     這題不必把圖畫出來，只要算兩個交點就能配對。最常見的失誤是移項與除以負數時漏掉變號，算出來的截距正負全反，圖形就挑錯邊。建議固定用「令 $x=0$ 求 $y$、令 $y=0$ 求 $x$」這兩步，把交點寫成坐標再看它們落在原點的哪一側；接著檢查直線是往右上還是往右下，三個資訊湊齊，四張圖一定只剩一個可能。
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116. 由斜率與截距判斷直線不通過的象限112學年鷺江國中第2次段考數學 第7題
     $-2024$ 這種大數字只是嚇人，真正的關鍵只有兩件事：$x$ 前面的係數是負的（直線由左上往右下），以及常數 $a$ 是正的（交 $y$ 軸在原點上方）。這兩個條件一湊，直線就只會掃過第一、第二、第四象限。最常見的失誤是把負號漏掉或把「不通過第三」與「不通過第四」記反；不放心就直接代幾個數字試，$x$ 取負、取正各試一次，馬上看得出來。
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117. 代入直線方程式求k值112學年鷺江國中第2次段考數學 第11題
     這題的難度全在細節：一是代入順序，$(-4,k)$ 的 $-4$ 是 $x$、$k$ 是 $y$，代反就會得到 $-7$；二是移項變號，$-4$ 搬到右邊要變成 $+4$；三是最後除以 $-3$ 時別把負號弄丟，否則會得到 $3$。寫的時候把負數都加上括號（例如 $(-4)-3k$），算完一定代回原式驗算一次，三個坑就都能避開。
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118. 由圖形讀出三線的截距大小關係112學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
     這題的核心是「常數項就是 $y$ 軸交點的高度」，所以比較 $a$、$b$、$c$ 等於比較三條線碰到 $y$ 軸的位置高低。常見失誤有三種：拿兩條斜線的交點去比大小、把水平線 $y=b$ 的 $b$ 誤讀成 $x$ 軸上的位置、以及看到 $L_1$ 往右下走就以為它的常數是負的。把 $x=0$ 代進每一條式子、直接在 $y$ 軸上比高低，就不會出錯。
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119. 由三線共點求係數112學年鷺江國中第2次段考數學 第15題
     看到 $2024$ 這種大數字別急著硬解三條聯立。訣竅是先用「不含未知係數」的兩條算出交點，再把交點代進含 $a$ 的那一條，這樣只要解一次一元一次方程。這題還有個小禮物：交點的 $x$ 剛好是 $0$，所以 $2024x$ 整項歸零，根本不必乘。代入時務必前一個數配 $x$、後一個數配 $y$，代反會讓 $a$ 消失，式子變成不可能成立的等式。
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120. 求過定點且平行於坐標軸的直線方程式112學年鷺江國中第2次段考數學 第17題
     這題唯一的難處就是「平行 $x$ 軸」與「平行 $y$ 軸」的方程式形式容易寫反。可以用圖像記憶：平行 $x$ 軸的線是橫著躺的，走遍整條線高度都沒變，被固定住的是 $y$；平行 $y$ 軸的線是直挺挺站著的，走遍整條線左右都沒動，被固定住的是 $x$。寫完之後把題目給的點代回去檢查一次，一秒就能確認有沒有寫反。
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121. 畫出兩直線圖形並求交點坐標112學年鷺江國中第2次段考數學 第19題
     畫直線最怕挑到不是格點的點：像 $2x-y=5$ 令 $y=0$ 會得到 $x=2.5$，卡在格線中間，畫出來的線很容易歪掉，寧可多代一個 $x=3$ 換到整數點。第二個常見失誤是只憑眼睛從圖上讀交點就交卷——格子數錯或線畫歪一點，讀出來的坐標就不對，一定要用代入消去法算一次，再把答案代回兩個原式驗算。畫線時記得用直尺並延長到紙邊，交點才落得準。
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122. 菱形內一點到邊距離112學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第10題
     圖上 $M$ 畫在靠近 $D$ 的地方，很多人直覺認為「$M$ 偏右所以距離比較短」，開始硬算三角形。其實 $\overline{AD}$ 與 $\overline{BC}$ 平行，平行線間的距離是定值，$M$ 怎麼移結果都一樣。另一個錯是把菱形當成三角形，面積公式多除了一個 $2$，列成 $4\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\times8\times h$ 而算出 $h=\sqrt{2}$——這個值不在選項裡，正好提醒你菱形是平行四邊形，面積就是底乘高。
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123. 橢圓旋轉變換・長軸長112分科測驗數學甲 第15題
     看到 $xy$ 項就想先求旋轉角 $\theta$ 再化回標準式，計算量大又容易錯。題目已給「離原點最遠的點」，抓住「旋轉是保距變換」，長軸長就是那個點到原點距離的兩倍，只要驗證它在橢圓上並算距離。注意問的是「長軸長」，是半長軸 $\sqrt5$ 的兩倍，別只填 $\sqrt5$。
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124. 拋物線頂點距離112會考數學 第14題
     陷阱在「配對」：四個點由左到右是 $A$、$B$、$C$、$D$，直覺會把相鄰的 $A$、$B$ 配成一組，但圖中兩條拋物線在 $B$、$C$ 之間交叉，實際上 $A$、$C$ 在同一條、$B$、$D$ 在另一條。判斷方式是沿著曲線描：從 $A$ 往下走到 $P$ 再往上，會穿過交叉點到達 $C$。配對確定後，用「頂點在兩交點正中間」就能算出位置。
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125. 方格紙外心求弦長112會考數學 第17題
     常見錯誤：一是把外心和重心、內心搞混，外心的特徵是「到三頂點等距離」，所以用 $\overline{OA}$ 當半徑找格點；二是找到 $B$、$C$ 後把半徑 $\sqrt{10}$ 當成答案，忘了問的是 $\overline{BC}$。另外方格紙有範圍，距離 $\sqrt{10}$ 的格點圖上只有 $3$ 個，扣掉 $A$ 剩 $2$ 個，$B$、$C$ 因此唯一。
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126. 單位圓切線・正切幾何意義112學測數學A 第2題
     θ 標在 E 點，很多人就直接在三角形 O C E 裡找對邊和鄰邊，結果把 C E 當成對邊而選成 C E，那其實是 cot θ。關鍵是先利用「切線垂直半徑」找出直角，再用角度互補把 θ 搬到 O 點，發現角 C O D 也等於 θ，這時對邊 C D 除以鄰邊 O C 等於一，tan θ 才會直接等於一條線段的長度。
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127. 圓錐光線・截痕判斷112學測數學B 第7題
     最常見的錯誤是覺得牆壁和地板「地位對稱」，牆上是拋物線地板也該是拋物線而選 (3)；其實軸與兩個面的夾角互補，一個 $30°$、另一個就是 $60°$。另一個陷阱是選 (2) 圓，但只有軸垂直於切面時截痕才是圓，這裡軸與地板夾 $60°$。記牢判斷規則：把「面與軸的夾角」拿去和半頂角 $30°$ 比大小，先確定半頂角是張角的一半。
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128. 圓與坐標軸相切・向量長度112學測數學B 第11題
     最容易漏掉的是「圓心在第四象限」這個分支：與兩軸相切只能推出 $|b|=a$，要用距離條件排除 $b=-a$，才能確定 (1)。(3) 也常判錯，$\overline{PA}=a+c$ 比半徑 $a$ 大，$P$ 必在圓外。(4)(5) 要真的解出 $\dfrac{a}{c}=3+2\sqrt2$ 再代入，別看到根號二就猜；用 $(a+c)^2=8ac$ 與 $(a-c)^2=4ac$ 相除是最快的驗算。
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129. 透視消失點・向量比例112學測數學B 第18題
     最常見的錯誤是被「$A_1B_3$ 與 $A_3B_1$ 的交點在 $A_2B_2$ 上」卡住，以為要先求 $A_2$；其實 $k$ 只和 $A_1$、$A_3$ 有關，那段是透視法的補充說明。向量方向也常寫反：$\overrightarrow{PA_1}$ 要用 $A_1$ 減 $P$。還要記得桿子與 $y$ 軸平行，同一根桿的上下兩點 $x$ 坐標相同，這是定出 $A_3$ 的關鍵。
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130. 數線兩點距離求未知數113學年鷺江國中第1次段考數學 第15題
     這題最常見的失分就是只寫一個答案。看到「相距 $4$」很多人順手從 $5$ 往右加成 $9$ 就收工，漏掉左邊的 $1$；只寫一個通常拿不到全部分數。要養成的習慣是：只要題目給的是「距離」而沒有說左右，就一定要往兩個方向各走一次。另外注意距離永遠是正的，$|1-5|$ 要先算出 $-4$ 再取絕對值成 $4$，不可以寫成負的距離。
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131. 坐標點與原點距離比較〔2-3〕113學年福和國中第1學期第2次段考數學 第2題
     最常見的錯是只挑一個坐標來比大小：看到 (C) 的 $x=-1$ 絕對值最小就選 (C)，卻忘了它的 $y=-5$，平方後 $1+25=26$ 反而幾乎是最大的。距離要兩個坐標都平方再相加，而且負號平方後一定變正。比大小時比 $x^{2}+y^{2}$ 就夠，最後才決定要不要開根號。
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132. 圓形基本性質敘述判斷113學年鷺江國中第2次段考數學 第1題
     這種敘述題的選項都是課本性質的「改字版」，一定要逐字讀主詞。最容易中招的是 (D)：圓內接四邊形確實有互補性質，但互補的是「對角」不是「鄰角」，看到熟悉字眼就打勾很危險。(A) 也一樣，直徑所對的圓周角是直角 $90°$，而「平角」是 $180°$，兩者差很多。複習時把「圓心角／圓周角」「對角／鄰角」「弦／直徑」這些成對的名詞放在一起背，才不會被換字騙過去。
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133. 圓心角與弧長計算113學年鷺江國中第2次段考數學 第5題
     兩個最常見的失誤。第一是把 $16$ 直接當半徑，周長算成 $2\pi\times 16=32\pi$，弧長就變成 $32\pi\times\dfrac{3}{8}=12\pi$ 而選 (D)。第二是優劣弧弄反，把度數算成 $360°\times\dfrac{5}{8}=225°$，弧長 $16\pi\times\dfrac{225}{360}=10\pi$ 而選 (C)。記牢兩件事：題目給的 $16$ 是直徑，要先除以 $2$；比例中份數小的那一段才是劣弧。
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134. 切線長與半徑求值113學年鷺江國中第2次段考數學 第6題
     這題的關鍵是「一定要把半徑 $\overline{OC}$ 連出來」，沒有這條輔助線就看不到直角三角形。常見的誤解是把 $\overline{OD}=10$ 當成直徑，取一半算成 $10\div 2=5$ 而選 (C)——但 $D$ 在圓外，$\overline{OD}$ 只是圓心到圓外一點的距離，不是直徑也不是半徑。另外要認清誰是斜邊：$\overline{OD}$ 對著直角，所以是「$100$ 減 $64$」而不是兩數相加。
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135. 直線與圓位置關係判斷113學年鷺江國中第2次段考數學 第8題
     最容易誤選的是 (D) 的 $N$：它的 $d=8$ 剛好等於半徑，那是「切線」，只碰到圓一次，不是割線。割線必須真的穿過圓、交在兩個點，所以距離要嚴格小於半徑。另一個常見失誤是忘了把直徑 $16$ 換成半徑 $8$，直接拿 $16$ 當標準去比，就會誤以為 $L$ 是切線、$M$、$N$、$H$ 三條都是割線，整題判斷全亂。
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136. 圓周角與圓心角關係求角度113學年鷺江國中第2次段考數學 第10題
     兩個常見失誤。第一是漏掉「圓周角要乘 $2$ 才是圓心角」，把 $65°$ 直接當成頂角，算成 $(180°-65°)\div 2=57.5°$ 而選 (C)。第二是算出頂角 $130°$ 之後忘了最後要除以 $2$，把 $180°-130°=50°$ 當成單一個底角而選 (B)——那其實是兩個底角的總和。動筆時先在圖上把 $\overline{OA}$、$\overline{OC}$ 標成等長，等腰的結構就不會被忽略。
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137. 切線與割線長定理求面積113學年鷺江國中第2次段考數學 第14題
     最關鍵的一步是看清楚 $\overline{AC}=8$ 只是「$A$ 到圓周上那一點」的長度，不是整條 $\overline{AO}$。若誤把 $\overline{AO}=8$ 當斜邊去算，會得到 $r^2=8^2-12^2=-80$，根號裡出現負數根本算不出來——一旦算到這種結果，就表示邊的角色認錯了。正確做法是設半徑 $r$，把 $\overline{AO}$ 寫成 $8+r$，再用畢氏定理列方程式，展開後 $r^2$ 會自動消掉，變成好解的一元一次方程式。
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138. 內切圓切線長求值113學年鷺江國中第2次段考數學 第16題
     最常誤選的是 (C) 的 $5$：那是把 $F$ 當成 $\overline{AC}$ 的中點，算成 $10\div 2=5$。內切圓的切點只在「兩條切線長相等」的意義下成對，並不是邊的中點（只有正三角形才會剛好落在中點）。另一個失誤是直接把 $\overline{BC}=6$ 抄成答案而選 (B)，忘了 $\overline{CF}$ 只是 $\overline{BC}$ 扣掉 $\overline{BE}$ 之後剩下的那一段。標準步驟是：先求半徑，再逐段相減。
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139. 切線長與等腰三角形求弦長113學年鷺江國中第2次段考數學 第18題
     最容易中招的是把 $\angle MOP=60°$ 誤當成整個 $\angle MON$。若真的以為 $\angle MON=60°$，配上兩腰都等於 $4$，$\triangle OMN$ 就變成正三角形，會算出 $\overline{MN}=4$ 而選 (A)。題目給的 $\angle MOP$ 只是被 $\overline{OP}$ 平分後的一半，必須先乘 $2$。另外算 $\overline{MN}$ 時，從 $O$ 作的垂線只切到一半，求出 $\overline{MH}$ 之後千萬別忘了再乘 $2$。
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140. 弦心距與弦長關係113學年鷺江國中第2次段考數學 第23題
     這題要走「弦長 $\to$ 半徑 $\to$ 另一條弦心距」兩段路，中間的半徑是唯一的橋樑。最常見的錯是算出 $r=5$ 就停手，把半徑當成答案選了 (A)；也有人以為兩條弦心距會一樣長而直接抄 $3$ 選 (C)。另外要小心「弦長和弦心距成比例」是錯的想法：照 $8:6=3:x$ 去算會得到 $x=2.25$，根本不在選項裡。正確的關係是畢氏定理，而且弦越長、弦心距越短。
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141. 由 a 值判斷拋物線開口方向113學年鷺江國中第1次段考數學 第4題
     這題考的是最基本的判斷，但很多人靠死背口訣，一緊張就把「正向上、負向下」記反。最保險的作法是當場寫一個最簡單的例子：$y=x^2$ 代 $x=-1,0,1$ 得到 $1,0,1$，中間低兩邊高就是開口向上，兩秒就能確認。另外要記得 $b$、$c$ 只影響頂點的位置，不影響開口方向與胖瘦；而拋物線的開口只有上下兩種，看到「向左」「向右」的選項可以直接刪掉。
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142. 由拋物線對稱性求頂點間距離113學年鷺江國中第1次段考數學 第22題
     看到兩條拋物線和一條水平線截出四個點，第一件事是沿著曲線把每個交點「歸隊」，確認哪兩點屬於同一條，不要憑左右順序直接配對。這題兩條拋物線是交疊的，最左與最右的 $A$、$D$ 分屬不同曲線，中間的 $B$、$C$ 也分屬不同曲線。歸隊之後再用「頂點在同一條上兩交點的正中間」這個對稱性質，就可以完全不必寫出函數式，直接用線段長度算出答案。
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143. 拋物線河道水深與水面寬度應用113學年鷺江國中第1次段考數學 第24題
     這類「拋物線形河道、隧道、拱橋」的應用題，第一步一定是把頂點放在原點，讓函數簡化成 $y=ax^2$，再用題目給的一組資料解出 $a$。兩個最容易失分的地方：一是忘了題目給的「寬」是左右兩邊合計，代入時要先除以 $2$ 取半寬，算完又要再乘 $2$ 變回全寬；二是誤以為深度和寬度成正比而用比例直接換算。拋物線上是 $y$ 和 $x^2$ 成正比，深度變成 $\dfrac{4}{9}$ 倍時，寬度只變成 $\dfrac{2}{3}$ 倍。
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144. 拋物線上兩點距離計算113學年鷺江國中第1次段考數學 第25題
     這題有兩個關卡。第一是把「距離某軸幾單位」翻譯正確：距 $y$ 軸的距離是 $|x|$，距 $x$ 軸的距離是 $|y|$，很多人會把兩者對調；翻譯完還要用象限決定正負號，第三、第四象限的 $y$ 都是負的。第二是 $y=-x^2$ 的負號，$-x^2$ 表示先平方再取負，$x=2$ 時是 $-4$ 而不是 $4$。最後求距離時記得用 $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，並把 $\sqrt{18}$ 化簡成 $3\sqrt{2}$ 再比對選項。
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145. 通過定點且垂直y軸的直線113學年福和國中第2學期第2次段考數學 第2題
     最常見的是把「與 $y$ 軸垂直」看成「與 $y$ 軸平行」，於是挑了鉛直線 $x=-3$，也就是 (A)。分清楚：平行 $y$ 軸的是 $x=k$，垂直 $y$ 軸的是 $y=k$。第二個坑是坐標抓錯欄位，看到題目裡的 $-3$ 就寫成 $y=-3$ 而選 (C)；點 $(-3,4)$ 的 $x$ 坐標才是 $-3$，$y$ 坐標是 $4$。寫完把點代回去檢查一次就不會錯。
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146. 直線截距與象限判斷113學年福和國中第2學期第2次段考數學 第4題
     最容易中招的是 (C)：算 $x$ 軸交點時確實會得到 $9$，但 $9$ 是 $x$ 坐標，要寫成 $(9,0)$；選項把數字擺進了 $y$ 的位置變成 $(0,9)$，一不小心就會覺得「$9$ 有算到」而勾下去。記牢規則：與 $x$ 軸交就令 $y=0$、與 $y$ 軸交就令 $x=0$，算出來的數要填回正確欄位。另外常數項是 $36$ 不是 $0$，這條線必不過原點。
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147. 由兩點求直線方程式113學年福和國中第2學期第2次段考數學 第11題
     兩個常見失手都落在選項裡。一是解 $-9a=-3$ 時把除法做反，算成 $(-9)\div(-3)=3$ 而得 $a=3$，於是誤選 (C)；正確是 $a=(-3)\div(-9)=\dfrac{1}{3}$，絕對值小的除以大的必得真分數。二是算出 $b=-2$ 卻把負號漏掉寫成 $2$，誤選 (D)。解完務必把兩個點都代回原式檢查，這題只要代一次就能把錯誤抓出來。
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148. 三線共點求參數113學年福和國中第2學期第2次段考數學 第15題
     這題全押在 $2=-2a-8$ 的符號上。$-8$ 移到左邊要變 $+8$，得 $10=-2a$，再除以 $-2$ 才是 $a=-5$；若除的時候漏掉負號寫成 $a=5$，就會覺得 (A) 沒問題。更麻煩的是這個錯會連累後面：$a=5$ 代入 $ax+by=12$ 會算出 $b=11$，讓 (B) 看起來也錯；$a+b+k=18$，讓 (D) 看起來也錯。一題「何者錯誤」卻冒出三個錯誤敘述，就是在提醒你 $a$ 算錯了。
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149. 坐標軸距離關係求y坐標113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第1題
     最常掉的坑是把倍數關係寫反。若寫成 $10-y=3(y+14)$，會得到 $10-y=3y+42$、$4y=-32$、$y=-8$，剛好落在 (D)。第二個坑是把「$3$ 倍」誤會成「把 $L$ 到 $M$ 這段 $24$ 分成 $3$ 等份」，於是算 $24\div 3=8$、$10-8=2$，就會選到 (B)。要記住：一段是另一段的 $3$ 倍，整段其實要分成 $1+3=4$ 份，靠近 $L$ 的那一份才是 $24\div 4=6$，所以 $y=10-6=4$。
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150. 鉛直線方程式判斷113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第4題
     最常見的錯是把 $x=n$ 和 $y=n$ 的圖形記反。口訣是「$x$ 等於常數畫鉛直線、$y$ 等於常數畫水平線」，因為 $x=n$ 限制的是左右位置，點只能上下跑。另一個容易忽略的是 $n\neq 0$ 這個條件：它不是裝飾，而是為了把「$x=0$ 就是 $y$ 軸本身」這個特例排除掉，否則「平行」兩個字就說不通了。
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151. 線對稱三角形求直線方程式113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第15題
     左右對稱只把 $x$ 變號，不要把整條方程式的正負號全部顛倒。寫成 $y=2x-4$ 的人，代 $x=0$ 得 $y=-4$，頂點跑到 $y$ 軸下方，和圖不合，那是 (A)。只把常數項變號的 $y=-2x-4$ 雖然通過 $B(-2,0)$，但代 $x=0$ 同樣得 $-4$，不通過 $A(0,4)$，那是 (B)。把 $x$ 的係數取倒數寫成 $y=\dfrac{1}{2}x+4$ 的，代 $x=-2$ 得 $y=3$ 而不是 $0$，不通過 $B$，那是 (D)。
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152. 直線斜率截距與圖形對應判斷113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第21題
     最常見的錯是看到 $y=ax-b$ 就直接把 $b$ 當成 $y$ 截距。截距是常數項 $-b$，而 $b<0$ 時 $-b$ 是正的；漏掉這個負號的人會以為截距是負的，就選成 (D)。另一個坑是判斷正負時只用 $ab<0$ 和 $a+b<0$，忘了 $|a|<|b|$ 才是決定「誰是負的」的關鍵：若誤判成 $a<0$、$b>0$，那 $a+b$ 會是正的，和條件矛盾。
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153. 四邊形面積求直線與坐標軸交點113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第24題
     起點是先把 $b$ 算出來：$R$ 在 $L$ 上，代 $x=8$ 得 $b=1$。接著最容易錯的是 $S$ 的位置。以為 $S$ 就在 $R$ 正下方而寫成 $a=8$ 的人，$a+b$ 會得到 $9$，落入 (C)；把 $S$ 看成 $L$ 與 $x$ 軸的交點 $P$ 而寫成 $a=10$ 的人，$a+b$ 會得到 $11$，落入 (D)。$a$ 一定要靠面積等於 $\dfrac{47}{2}$ 這個條件解出來。
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154. 方程式圖形只通過兩象限求k值113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第25題
     斜率不為 $0$ 的直線要「只通過兩個象限」，唯一可能就是通過原點；沒想到這一點的人只好一個一個代選項猜。另一個常見失誤是移項時把 $+4-k$ 的符號看成 $+4+k$，列成 $4+k=0$ 而解出 $k=-4$，選成 (D)。移項要老實寫：$y=-2x-4+k$，常數項是 $k-4$，不是 $k+4$。
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155. 直線方程式應用問題(尋找神奇寶貝,向西距離)113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第28題
     兩個關鍵動作都容易漏。第一，「正西方」是 $y=0$ 而不是 $x=0$。第二，解出 $x=-16$ 只代表 $16$ 個單位長，一定要再乘 $150$；忘了換算就會寫成 $16$，根本不在選項裡。另外，看到分母 $8$ 就直接說「向西走 $8$ 單位」的人會算成 $8\times150=1200$ 公尺，掉進 (D)；其實從 $(0,6)$ 向西 $8$ 單位只到 $(-8,3)$，還沒碰到 $x$ 軸。
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156. 直線方程式應用問題(尋找神奇寶貝,可行走法)113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第29題
     「向北走」是 $y$ 變、$x$ 不變；「向西走」是 $x$ 變、$y$ 不變，兩者不要混在一起。算出隧道上的交點之後，要求的是「兩點之間走了多遠」，不是那個坐標本身：有人算出 $x=24$ 時隧道在 $y=15$，就直接寫 $15\times150=2250$ 而選 (B)，卻忘了神木在 $y=-6$，中間還有 $6$ 個單位。另外把 $\dfrac{3}{8}x=-12$ 直接看成 $x=-12$ 的人，會算成 $(24+12)\times150=5400$，掉進 (D)。
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157. 直線方程式應用問題(無線電波傳送位置)113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第30題
     這題的陷阱幾乎都在正負號。(B) 代進去算出 $-2$，而選項給的 $y$ 是 $2$；(C) 代進去算出 $4$，而選項給的 $y$ 是 $-4$：兩個都只差一個負號，急著對答案的人很容易看成一樣而誤選。乘負數時請把式子完整寫出來，例如 $4\times(-2)=-8$，再加 $6$ 得 $-2$。另外看到分數坐標也不要跳過，$4\times\dfrac{1}{2}=2$ 要真的算一次。
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158. 直線方程式係數範圍判斷113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第31題
     最容易誤選的是 (A)。看到 $(d,-1)$ 的縱坐標是負的，很多人就直覺認為這個點在第三象限、$x$ 也該是負的。但這條直線往右下走，$y$ 變小時 $x$ 反而變大，$(d,-1)$ 落在 $x$ 軸下方且在 $(c,0)$ 的右邊，所以 $d$ 是正的。做這類題的順序是：先從圖確定斜率正負，再用「$y$ 變小、$x$ 就變大」排出各點的左右順序。
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159. 點到直線距離與線段長度可能性判斷113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第38題
     最容易誤選的是 (C)。有人把「距離是 $8$」理解成「一定要大於 $8$」，於是認為 $\overline{AB}=8$ 不可能。其實當 $B$ 剛好落在垂足上時，$\overline{AB}$ 就正好等於這個距離 $8$，完全做得到。正確關係是 $\overline{AB}\ge 8$：等號在 $B$ 為垂足時成立，$B$ 沿直線愈走愈遠時 $\overline{AB}$ 就愈大，所以 $8$ 以上都可能，只有小於 $8$ 不可能。
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160. 求直線方程式通過點之未知數113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第40題
     三個誘答都是符號出錯的結果。把 $-5\times(-3)$ 算成 $-15$、再加 $2$ 會得到 $-13$，就是 (A)；若連 $+2$ 也看成 $-2$，會得到 $-15-2=-17$，就是 (B)；乘法算對卻把 $+2$ 看成 $-2$ 的人，得到 $15-2=13$，就是 (D)。避免的方法是代入時一定把括號寫出來：$a=-5\times(-3)+2$，先算乘法、確認負負得正，再做加法。
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161. 點到直線距離的線段判斷113學年福和國中第2學期第3次段考數學 第6題
     最常見的錯誤是「看圖上哪一條畫起來比較短就選哪一條」。示意圖不一定按比例畫，長短不能當論據；判準只有一個：是不是垂直。另一個陷阱是把「點到直線的距離」和「點到線上某一點的距離」混為一談——前者指的是唯一的那條垂線段，後者則隨著取哪一點而改變。看到直角記號，答案就定了。
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162. 伸縮・焦點113分科測驗數學甲 第2題
     伸縮時分母要「整個平方」：$x$ 方向拉成 2 倍後，新分母是 $(2a)^2=4a^2$，不是 $2a^2$；只乘 2 會解出 $a^2=162$，之後的焦點跟五個選項全對不上。保險作法是老老實實把 $x=\dfrac{X}{2}$、$y=\dfrac{Y}{3}$ 代回原式，不要直接在分母上乘倍率。
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163. 圓弦・斜率113分科測驗數學甲 第10題
     弦長公式 $2\sqrt{r^2-d^2}$ 前面那個 $2$ 最常被吞掉：只算到半弦 $\sqrt{r^2-d^2}$ 就設等於 $1$，會解出 $r=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，恰好是正解的兩倍。記住 $d$ 的垂足是弦的中點，畢氏定理算出來的是「半弦」，最後務必乘二。
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164. 圓內外・角度判位113會考數學 第17題
     「大角對大邊」時把邊配錯：以為 $\angle B$ 對的是 $\overline{AB}$、$\angle C$ 對的是 $\overline{AC}$，結果三邊大小整個顛倒而誤選 (D)。記住：一個角的對邊是「不含這個頂點」的那條邊，$\angle B$ 對 $\overline{AC}$、$\angle C$ 對 $\overline{AB}$。
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165. 兩半圓相交・弧度求解113會考數學 第21題
     最容易搞混的是「同一個角在兩個圓裡身分不同」。∠EBC 在大半圓中 B 是圓心，它是圓心角，度數等於弧 CE；但在小半圓中 B 只是圓周上的一點，同樣的 ∠EBD 就變成圓周角，弧 ED 要乘以 2，分不清就會把弧 ED 寫成 58°。做題時先標出每個半圓的圓心，再判斷角的頂點在圓心還是圓周上。
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166. 正六邊形・座標113學測數學A 第10題
     第一步的圖形判斷最容易錯：把交點 $P$ 想成六邊形斜邊與正方形邊的交叉處（那樣會穿進內部產生兩個交點），或把最右頂點的高度設錯。一邊在 $x$ 軸上的正六邊形，最右頂點高度恰為 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}t$、與中心同高；這一步設錯，邊長就不是 4，後面全盤皆錯。
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167. 障礙物視線・直線判斷113學測數學B 第3題
     常見錯誤是只看「直線有沒有到牆的高度」而忘了牆是有限長的線段：例如 (5) 的 $Q(9,2)$ 看似離缺口很近，但射線到達 $y=5$ 時 $x$ 已是 10.125，正好撞上下方牆。正確做法是算射線在 $y=5$、$y=6$ 時的 $x$ 坐標是否落在牆的範圍內，或用「斜率介於 $m_{PD}$ 與 $m_{PA}$ 之間」一次判完。
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168. 圓心到切線距離與半徑關係是非判斷114學年鷺江國中第2次段考數學 第2題
     有些人會想像「圓心到切線」可以隨便拉一條斜的連線，那樣就會比半徑長，於是判成錯。關鍵是抓住「距離就是垂直線段」這個約定，只要講點到直線的距離，畫的一定是垂線。再配上切線垂直半徑，垂足必然落在切點，答案就唯一了。這條性質的反向也常考：當圓心到某直線的距離恰好等於半徑時，這條直線就是圓的切線。
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169. 弦長與弦心距關係是非判斷114學年鷺江國中第2次段考數學 第3題
     「愈長愈遠」念起來很順，所以很多人直接畫圈。可以在腦中做一個動作來記：把一條弦從直徑的位置慢慢往圓邊平移，弦會愈來愈短，它離圓心卻愈來愈遠。或者直接記住 $a^2+d^2=r^2$，弦長與弦心距在同一個圓裡就是一增一減。另外要注意「同一圓」這三個字，半徑不同的兩個圓不能直接拿弦心距比長短。
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170. 同心圓弧度數與弦長關係是非判斷114學年鷺江國中第2次段考數學 第4題
     這題在考「度數」和「長度」的差別。弧的度數只記角度大小，跟圓畫多大完全無關；弧長和弦長則是量得出來的長度，半徑放大幾倍就跟著放大幾倍。很多人把「等弧」直接當成「等長」，於是把後半句也判成對。判斷時先問自己：這個量要不要帶公分這種單位？帶單位的一定會隨半徑改變，不帶單位的才跟半徑無關。
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171. 圓上一點與圓心距離判斷114學年鷺江國中第2次段考數學 第8題
     最常見的失分是把「直徑 $10$」直接當成半徑，於是挑了數值 $10$ 的那個選項。題目給直徑時一定要先除以 $2$。另外要緊咬「在圓上」這三個字：它把距離鎖死成半徑，不是「小於等於半徑」。如果題目改問「$P$ 在圓內」，答案才會是小於 $5$ 的 $4$；改問「$P$ 在圓外」，才輪到 $10$ 和 $12$。讀題時先確認點的位置是圓上、圓內還是圓外。
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172. 圓心角90度求兩底角和114學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
     很多人只盯著 $\triangle OAD$：$\overline{OA}=\overline{OD}$ 且 $\angle AOD=90°$，算出 $\angle OAD=\angle ODA=45°$，相加得 $90°$ 就把它當成答案。但題目問的是 $\angle OAB$ 與 $\angle ODB$，$B$ 是弧上的另一個點，這兩個角比 $\angle OAD$、$\angle ODA$ 都來得大。遇到圖形題，先用筆把要求的角在圖上描一次，確認每個角的三個字母各自站在哪裡，再開始計算。
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173. 圓內兩線交點求圓心角114學年鷺江國中第2次段考數學 第13題
     這題要連用兩次「外角等於兩個不相鄰內角和」，中途很容易停在 $\angle OCD=30°$ 就把答案寫成 $30°$，但那是 $\angle OCD$，不是題目要的 $\angle AOD$。另一個常見狀況是漏看 $\overline{CP}=\overline{AO}$ 這個條件，等腰三角形找不出來就整題卡住。動筆時先把所有等長線段（三條半徑加上 $\overline{CP}$）在圖上打同樣的記號，角度自然一路推得下去。
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174. 矩形內切圓圓心作圖法正誤判斷114學年鷺江國中第2次段考數學 第16題
     這種「誰對誰錯」的題目，最怕看到甲又是角平分線又是中垂線就覺得太麻煩，直接判成錯。判斷的方法其實只有一個：把每一條線分開來檢查，看它會不會通過圓心。這裡會用到的三條性質是——弦的中垂線通過圓心、半徑垂直切線、圓心到角的兩邊等距所以落在角平分線上。三條都熟，兩人的作法都驗證得出來，就不會憑感覺亂刪選項。
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175. 三圓半徑比與圓心角比求弧長與扇形面積比114學年鷺江國中第2次段考數學 第17題
     最常見的錯誤是面積比忘了把半徑平方，直接沿用弧長的算法，於是兩格都寫成 $3:4:3$。請記牢：弧長只帶一次半徑，扇形面積帶半徑的平方，所以面積要先把 $1:2:3$ 平方成 $1:4:9$ 再乘角度比。另一個坑是以為「圓心角比就是弧長比」——那只在同一個圓（半徑相同）裡才成立，這題三個圓大小不同，一定要把半徑一起乘進去。
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176. 同心圓陰影面積求切線弦長114學年鷺江國中第2次段考數學 第20題
     這題乍看少了條件，$R$ 和 $r$ 都不知道，其實圓環面積裡的 $R^2-r^2$ 正好就是畢氏定理要用的那一塊，兩邊一對接就解開了。硬要把 $R$、$r$ 各自解出來是徒勞的——符合 $R^2-r^2=36$ 的組合有無限多組，但 $\overline{AB}$ 永遠是 $12$。另一個常見失分是算出 $\overline{AC}=6$ 就當成答案交卷，忘了 $\overline{AC}$ 只是半條弦，最後要乘 $2$。
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177. 三角形內切圓與正方形求半徑114學年鷺江國中第2次段考數學 第22題
     內切圓的題目最怕把半徑猜成某條邊的一半，例如看到 $\overline{AB}=8$ 就寫 $r=4$。真正的工具是切線長相等：圓外一點到圓的兩條切線段一樣長，所以斜邊可以被拆成 $(8-r)+(15-r)$，一條方程式就解完。另外直角三角形還有個好用的結論可以驗算：$r=\dfrac{\text{兩股和}-\text{斜邊}}{2}=\dfrac{8+15-17}{2}=3$，答案一致就放心了。
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178. 切線長定理求三角形面積114學年鷺江國中第2次段考數學 第23題
     最常見的錯誤是把 $\overline{AP}=6$ 當成三角形的一股，直接算 $\dfrac{1}{2}\times 12\times 6=36$。$A$ 只是 $\overline{PO}$ 與圓的交點，$\overline{AP}$ 既不是半徑也不是三角形的邊，它的功用是幫我們把斜邊寫成 $6+r$。另一個要小心的是直角的位置：直角在切點 $B$，能當兩股的是 $\overline{PB}$ 和 $\overline{OB}$，$\overline{PO}$ 是斜邊，不可以拿來乘。
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179. 圓弧切線求三角形面積114學年鷺江國中第2次段考數學 第24題
     看到兩個共用一個角的三角形，很多人反射性地用相似三角形去做，把面積比寫成 $2^2:5^2=4:25$，算出 $6\times\dfrac{4}{25}=\dfrac{24}{25}$。但 $\triangle ADE$ 與 $\triangle ACE$ 並不相似，它們只是「同高不同底」——頂點都是 $E$，底邊都躺在直線 $AC$ 上。先判斷是相似還是等高：相似才把邊長比平方，等高就直接用底邊比，不要多平方一次。
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180. 圓內平行弦與切線求角度114學年鷺江國中第2次段考數學 第25題
     條件一長串，最怕一開始就想用角度硬算。訣竅是全部換成「弧」：兩條平行弦之間夾的弧一定相等；切線可以看成「只碰圓一點的平行線」，所以切點就是它所平行的那條弦所對弧的中點。把每一段弧都記成 $x$，最後用半圓 $180°$ 解出 $x$，整題就通了。另外別忘了最後一步是圓周角要除以 $2$，只寫 $45°$ 就漏掉了這一步。
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181. 尺規作圖圓外一點切線114學年鷺江國中第2次段考數學 第27題
     尺規作圖最常見的失分是「用眼睛喬」——拿直尺從 $P$ 畫一條看起來剛好碰到圓的線，既沒有作圖痕跡也不保證真的相切，通常拿不到分。第二個常犯的錯是把 $\overline{OP}$ 與圓 $O$ 的交點當成切點：在那一點作 $\overline{OP}$ 的垂線，畫出來的確實是圓的切線，卻不會通過 $P$；直接把 $P$ 和那個交點連起來，畫出來的又只是一條割線。真正的關鍵是「以 $\overline{OP}$ 為直徑畫圓」，靠直徑所對的圓周角是直角逼出 $\overline{OT}\perp$ 直線 $PT$。作圖弧線全部留著，最後補一行理由說明垂直關係，才算完整。
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182. 外心圓心角求圓周角兩解114學年鷺江國中第3次段考數學 第7題
     最典型的失分是只算出 $71^\circ$ 就停手，忘了 $A$ 也可以落在弦 $\overline{BC}$ 的另一側（此時 $\angle A$ 為鈍角、外心跑到三角形外），那一邊要用 $360^\circ$ 扣掉 $142^\circ$ 再除以 $2$。另一個坑是把外心的性質記成內心的 $\angle BIC=90^\circ+\frac12\angle A$，代入會解出 $\angle A=104^\circ$——那條公式是內心專用的，套到外心上就走偏了。
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183. 拋物線行進路徑求函數式114學年鷺江國中第1次段考數學 第19題
     最容易誤選 (A) 的 $-\frac{4}{9}$：把 $(-2)^2$ 誤記成「平方就是把負號拿掉」而寫成 2，式子變成 $-\frac{8}{9}=2a$，解得 $a=-\frac{4}{9}$。平方是自己乘自己，$(-2)^2=(-2)\times(-2)=4$，不是 2。另外要注意題目已經把最高點設在原點，函數只會是 $y=ax^2$ 這個最單純的形式，不必再湊 $h$ 和 $k$，硬加平移項反而把簡單題做複雜。
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184. 拋物線上指定橫坐標的點坐標114學年鷺江國中第1次段考數學 第20題
     最常見的錯是把「橫向距離變 2 倍」直接套到高度上：從 $x=-2$ 到 $x=4$ 距離變成 2 倍，就把 $-\frac{8}{9}$ 乘以 2 寫成 $-\frac{16}{9}$，這個值連選項都沒有。二次函數是「平方」關係，橫向距離變 2 倍，高度要變 $2^2=4$ 倍，$-\frac{8}{9}\times 4=-\frac{32}{9}$ 才對。老實地先把係數 $a$ 算出來再代 $x$，比用比例硬推安全得多。
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185. 兩拋物線頂點距離求解114學年鷺江國中第1次段考數學 第25題
     最大的陷阱在第一步的配對。很多人看到 $A$、$B$、$C$、$D$ 由左到右排好，就直覺把 $A$、$B$ 當成左邊拋物線的兩個交點、$C$、$D$ 當成右邊的，算出頂點在 5 與 18、$\overline{PQ}=13$，這個數字不在選項裡。第二個常見錯是以為兩條拋物線一模一樣，於是把 $\overline{PQ}$ 當成 $\overline{AB}=10$ 而誤選 (C)；但 $\overline{AB}=10$ 與 $\overline{CD}=6$ 並不相等，兩條拋物線的胖瘦其實不同。畫圖時沿著曲線從頂點兩側滑下去，就看得出誰跟誰同一條。
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186. 二次曲線・垂直線114分科測驗數學甲 第4題
     最大陷阱在 (2)：想著「雙曲線兩支往無窮遠延伸、有漸近線，什麼直線都會碰到」就把 (2) 一起圈下去。判準只有一個——看哪個變數的平方項係數為正：$x^2$ 項為正（左右開口）時 $|x|\ge3$，中間整段 $-3<x<3$ 是空隙；$y^2$ 項為正（上下開口）的 (3) 才真正涵蓋所有 $x$。動手把方程式移項成「某變數的範圍」再下判斷，不要憑圖感。
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187. 平行四邊形・向量面積114分科測驗數學甲 第11題
     兩個高頻錯點：一是把「與 $3x-2y=0$ 垂直」的邊方向誤取成 $(2,3)$——那是平行方向，垂直應取法向量 $(3,-2)$；二是忘記 $\overrightarrow{PQ}$ 只是半條對角線，直接令 $s\,u+t\,w=(10,-1)$，兩邊長各少一半，面積會算成 $51$，恰為正解的四分之一。
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188. 斜率截距・面積114學測數學A 第2題
     兩個地方最容易失分：一是三角形面積漏乘 $\dfrac{1}{2}$，會解成 $a=3\sqrt{2}$ 誤選 (1)；二是面積差要先通分（$\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ 比 $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$ 大）確認誰減誰，順序寫反會得到負數而卡住。
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189. 圓弦長・距離114學測數學A 第16題
     兩個易失分點：一是解出 $m=0$ 與 $m=\dfrac34$ 後沒有淘汰 $m=0$——它會使 $L_1$ 與圓相切，違反「交於相異兩點」的前提；二是弦長算到半弦 $\dfrac{12}5$ 就停筆，忘了乘 $2$。畢氏定理算的是「半徑、弦心距、半弦」構成的直角三角形。
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190. 外接圓・弦長114學測數學A 第17題
     $\overline{AD}$、$\overline{CD}$ 的二次方程都是「二解型」（$3\pm\sqrt2$），最危險的是不檢驗就讓兩者同取一值或隨意配對。必須用圓內接四邊形 $\angle ADC=180^\circ-\angle ABC$ 在 $\triangle ADC$ 中檢驗，確認兩者必為一大一小，再依 $\overline{AD}\le\overline{CD}$ 取 $\overline{CD}=3+\sqrt2$。
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191. 圓錐截痕・平面判別114學測數學B 第5題
     最常見的錯誤是把「平面與 $L$ 平行」和「平面包含 $L$」混為一談，因而選了 (5) 兩相交直線；平行代表平面不含 $L$，自然不通過頂點，截痕不會退化。另一個錯誤是記錯判別方式，把「與軸的夾角」和「與母線的夾角」搞混。記住：截痕種類由平面與軸的夾角 $\theta$ 和半頂角比較決定，$\theta$ 越小越「陡」，切到上下兩片就是雙曲線；平面過頂點才有退化情形。
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192. 三角形分割・等面積直線114學測數學B 第14題
     最常見的錯誤是以為「過原點的直線要平分面積就得通過某個特別點」，例如去找重心或中線，但平分面積的直線不一定過重心，這題直線已被限制通過 $O$，只能用面積方程來解。另一個錯誤是沒判斷直線切到哪一邊就亂設交點；先用 $\triangle OAB$ 面積 $=1$ 太小排除左邊，就知道要與 $\overline{AC}$ 聯立。算完記得驗證交點真的落在線段上。
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193. 橢圓與雙曲線圖形對應115分科測驗數學甲 第1題
     最常見的錯誤是看到橢圓方程式裡 $x^2$ 配 $a^2$，就直覺把雙曲線也寫成 $x^2$ 配 $a^2$ 而選 (2)。關鍵在 $a,b$ 只是符號，大小要從圖判讀：橢圓瘦高代表 $b>a$，而雙曲線頂點離原點的距離接近 $b$ 而不是 $a$。看圖題先把每個符號對應到圖上的長度，再把頂點位置、漸近線斜率各驗一次，就不會被符號順序牽著走。
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194. 圓與切線斜率求解115分科測驗數學甲 第10題
     最常見的錯誤是把「圓上的點到直線之最短距離」當成「圓心到直線的距離」，漏掉減半徑，這樣列出的 $d_1=3d_2$ 會解不出半徑與 $|h|$ 的關係。另一個坑是只答正斜率 $\dfrac{\sqrt3}{3}$：過原點的切線有兩條，對稱於 $x$ 軸，斜率要寫 $\pm\dfrac{\sqrt3}{3}$；最後記得化成最簡根式，$\dfrac{1}{\sqrt3}$ 要寫成 $\dfrac{\sqrt3}{3}$。
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195. 點到平面距離115分科測驗數學甲 第15題
     最常見的失誤是分子忘了「減 $d$」：直接算 $|1+0+0|=1$ 剛好碰巧也得到 $1$，但這是巧合，換個點就會錯，公式一定要寫成 $|ax_0+by_0+cz_0-d|$。另一個是把 $E_2$ 或交線 $L$ 也拿來算，這一小題完全用不到。最後「化為最簡根式」：$\dfrac{1}{\sqrt6}$ 必須有理化成 $\dfrac{\sqrt6}{6}$。
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196. 平行直線方程式115會考數學 第13題
     很多人會把「平行 x 軸」和「x=常數」聯想在一起，其實剛好相反：x=常數的直線是鉛直線，與 y 軸平行；平行 x 軸的水平線是 y=常數。記法是：水平線上的點「高度」都一樣，高度就是 y。另外別把點坐標 (−3,−1) 的兩個數字用錯，水平線只看 y 坐標 −1。
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197. 等腰三角・分類討論115學測數學A 第6題
     共線檢查是本題的生死關：$\overline{AC}=5$ 解出的 $(5,-6)$ 恰在直線 $AB$ 上（$5+5=10=\overline{BC}$，兩腰拉直成一線），不成三角形。每找到一個候選點都代入直線 $AB$ 的方程式檢查，漏掉這步就會多算一點誤選 (3)。
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198. 向量・垂直條件115學測數學A 第14題
     配方時負號最容易吃掉補項：$-b^2+b$ 提出負號變 $-\left(b^2-b\right)$，括號內補的 $\dfrac{1}{4}$ 帶著負號移出去要變成 $+\dfrac{1}{4}$；漏改號寫成 $-\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}$，最大值就會答成 $-\dfrac{1}{4}$。配方完把 $b=\dfrac{1}{2}$ 代回原式核對一次。
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199. 領海基線・平行直線距離115學測數學B 第6題
     這題會算出兩條平行線 $4x+3y+48=0$ 與 $4x+3y-72=0$，關鍵在於選對邊。很多人算到 $|k+12|=60$ 就隨便挑一個，或憑感覺以為「數字大的在外面」而誤選 (5)。正確做法是利用 $(5,5)$：它在內側且代入 $4x+3y-12$ 為正，所以領海側的點代入必為負，只有 $4x+3y+48=0$ 上的點滿足。另外別忘了距離公式的分母是 $\sqrt{4^2+3^2}=5$，漏掉它會得到 $k=0$ 而誤選 (3)。
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200. 圓錐曲線・光罩截痕115學測數學B 第11題
     最容易錯的是方向感：開口越大（半頂角越大）的燈罩，越容易「切不完」而變成雙曲線；開口越小的越容易被地面完整截出橢圓。所以「大燈罩是拋物線」時小燈罩一定還在橢圓，「小燈罩是拋物線」時大燈罩已經是雙曲線，(2) 對而 (4) 錯，不要看到「拋物線」就以為兩者互推。另一個陷阱是 (3)：大燈罩是雙曲線只告訴我們 $\theta<\beta$，對 $\alpha$ 沒有結論，不能硬說小燈罩是拋物線。建議把 $\theta$、$\alpha$、$\beta$ 三個角排大小，每個選項都寫成不等式再判斷。
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201. 斜角直線・交點距離115學測數學B 第13題
     最容易錯的是 $O$ 處的內角：斜角 $75^\circ$ 是 $L_1$ 與 $x$ 軸「正向」的夾角，但三角形在 $O$ 的內角是朝向 $Q$（$x$ 軸負向）那一邊，應該是 $180^\circ-75^\circ=105^\circ$；若直接拿 $75^\circ$ 當內角，頂角會算成 $75^\circ$，距離就錯了。另一個常見錯誤是用聯立方程式硬解，$\tan75^\circ=2+\sqrt{3}$ 算起來繁瑣又容易出錯；看到「兩個已知角、一個已知邊」就該想到正弦定理，兩行就能算完。
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202. 星軌對稱・中垂線方程式115學測數學B 第18題
     最容易誤選的是 (2) $y=4$：有人先算出圓心的 $y$ 坐標是 $\pm4$，或看到「中垂線」就以為要寫成 $y=$ 的形式，結果寫出一條水平線，但水平線與在 $x$ 軸上的線段是平行的，根本不垂直。記住中垂線只由線段本身決定：先找中點 $(4,0)$，再取與線段垂直的方向；線段水平則中垂線鉛直，方程式是 $x=$ 常數。題目裡「逆時鐘旋轉 $90^\circ$」的資訊只影響北極星在 $(4,-4)$ 而不在 $(4,4)$，對中垂線的方程式沒有影響。
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