108學年鷺江國中第1次段考數學 第18題 詳解

逐步解析

1. 1

   代A點求c

   拋物線 $y=-x^2+6x+c$ 通過 $A(1,0)$，代入得 $0=-1^2+6\times1+c=-1+6+c$，所以 $c=-5$。拋物線為 $y=-x^2+6x-5$，配方後是 $y=-(x-3)^2+4$。
2. 2

   求B點坐標

   與 $y$ 軸的交點令 $x=0$：$y=-0+0-5=-5$，所以 $B(0,-5)$。圖上 $B$ 畫在刻度 $-1$ 的更下方，與這個結果相符。
3. 3

   算出腰長AB

   由兩點距離公式，$\overline{AB}=\sqrt{(1-0)^2+\left(0-(-5)\right)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$。
4. 4

   情況一：PA等於AB

   設 $P(0,p)$ 且 $p>0$。若另一腰是 $\overline{PA}$，則 $\overline{PA}=\overline{AB}$：$(0-1)^2+(p-0)^2=26$，即 $1+p^2=26$，$p^2=25$，取正得 $p=5$。所以 $P(0,5)$。
5. 5

   情況二：PB等於AB

   若另一腰是 $\overline{PB}$，因 $P$、$B$ 都在 $y$ 軸上，$\overline{PB}=p-(-5)=p+5$。由 $(p+5)^2=26$ 且 $p>0$ 得 $p=\sqrt{26}-5\approx0.1$，也落在 $y$ 軸正半軸上，同樣成立。
6. 6

   整理答案

   (1) 拋物線的方程式為 $y=-x^2+6x-5$。(2) 以 $\overline{AB}$、$\overline{PA}$ 為兩腰時得 $P(0,5)$，這一組是本題的答案。另外，以 $\overline{AB}$、$\overline{PB}$ 為兩腰時還有 $P\left(0,\sqrt{26}-5\right)$（約 $(0,0.1)$），同樣落在 $y$ 軸正半軸上，值得一併知道。

關鍵觀念：#二次函數 #等腰三角形 #應用問題

同主題一起複習：多項式與方程式 → 直線與圓錐曲線 →